维纳过程和伊藤引理

一、马尔可夫过程（Markov）

1. 基本概念

2. 具体使用

二、维纳过程

1. 基本概念

2. 具体使用

三、广义维纳过程

1. 漂移率和方差率

2. 广义维纳过程的基本概念

3. 具体使用

四、伊藤过程

五、几何布朗运动

六、伊藤引理

1. 基本概念

2. 具体使用

七、对数正态分布

一、马尔可夫过程（Markov）

1. 基本概念

Q：为什么要讲马尔可夫过程？

A：因为通常假设股票价格服从马尔可夫过程。

马尔可夫过程：只有标的变量的当前值与未来的预测有关，变量的历史值以及变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。

弱型市场有效性：股票的当前价格包含了过去价格的所有信息。

两者是一致的，投资者不能通过历史数据来获得高于平均收益率的收益。这也就是为什么 “通常假设股票价格服从马尔可夫过程” 吧？

2. 具体使用

考虑一个服从马尔可夫过程的变量，在 T 时间内该变量的变化量服从正态分布：

$\phi (\mu, \nu )=\phi (0, T)$

μ 是均值，v 是方差。

由于变量服从马尔可夫过程，因此变量过去的变化不会影响变量未来的变化，从而变量的变化量服从的是独立同分布的正态分布。两个独立的正态分布之和仍是正态分布。

(1) 变量在 2T 时间内的变化量的概率分布是什么？

在 2T 时间内的变化量 = 在 0~T 时间内的变化量 + 在 T~2T 时间内的变化量

$\phi (0, 2T)$

(2) 变量在 0.5T 时间内的变化量的概率分布是什么？

2 * 在 0.5T 时间内的变化量 = 在 0~T 时间内的变化量

$\phi (0, 0.5T)$

(3) 变量在 Δt 时间内的变化量的概率分布是什么？

n * 在 Δt 时间内的变化量 = 在 0~T 时间内的变化量

$\phi (0, T/n)$

二、维纳过程

1. 基本概念

维纳过程：是一种均值为 0，方差为每年 1.0 的特殊马尔可夫过程。

性质1：在一小段时间区间 Δt 内的变化量 Δz 为

$\Delta z=\varepsilon \sqrt{\Delta t}$

其中 ε 服从标准正态分布。从而 Δz 也服从正态分布：

$\phi (0, \Delta t)$

性质2：在任何两个不相重叠的 Δt 时间区间内，变化量 Δz 之间相互独立。

性质 2 说明变量 z 服从马尔可夫过程，εi 之间也是相互独立的。

2. 具体使用

考虑一段时间 T 内 z 的变化。我们可以将变化量表示为 z(T)-z(0)，这一变化量可以被看成是在 N 个长度为 Δt 的小时间段内变量 z 变化的总和，其中

$N=\frac{T}{\Delta t}$

因此

$z(T)-z(0)=\sum_{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\sqrt{\Delta t}$

由维纳过程的性质 2 我们知道 εi 之间相互独立，因此上式也服从正态分布：

$\phi (0, N\Delta t )=\phi (0, T)$

三、广义维纳过程

1. 漂移率和方差率

漂移率：变量在每单位时间内均值的变化。
方差率：变量在每单位时间内的方差。

我们刚才讨论的维纳过程又称基本维纳过程，它的漂移率为 0，方差率为 1，意味着将来任意时刻 z 的期望值都等于当前值，并且在长度为 T 的任何时间内其变化量的方差都等于 T 。

显然，上述情况过于特殊了，因此我们推广到广义维纳过程。

2. 广义维纳过程的基本概念

定义变量 x 满足下式：

$dx=adt+bdz$

其中 a 和 b 是常数。

adt 项说明变量 x 的单位时间漂移率为 a 。

假设没有 bdz 项，则上式变为 dx=adt，对 t 进行积分得出：

$x=at+x_{0}$

可见，在一段时间 T 内，变量 x 的增量为 aT，从而解释了 “adt 项说明变量 x 的单位时间漂移率为 a”。

bdz 项可看成是附加在变量 x 路径上的噪声或扰动，其幅度是基本维纳过程的 b 倍。

3. 具体使用

由于 z 服从基本维纳过程，因此我们可以把式子写成：

$dx=adt+b\varepsilon \sqrt{dt}$

在短时间 Δt 内则有

$\Delta x=a\Delta t+b\varepsilon \sqrt{\Delta t}$

ε 服从标准正态分布，因此 Δx 也服从正态分布：

$\phi (a\Delta t , b^{2}\Delta t )$

四、伊藤过程

广义维纳过程中 a 和 b 都是常数，而伊藤过程是一种更为广义的维纳过程，即 a 和 b 是变量 x 和时间 t 的函数。

伊藤过程定义变量 x 满足下式：

$dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz$

其中，漂移率 a 和方差率 b^2 都会随时间变化。但由于它们只依赖 x 在时间 t 的值，因此该过程仍然具有马尔可夫性质。

在短时间 Δt（t 到 t+Δt）内则有

$\Delta x=a(x,t)\Delta t+b(x,t)\varepsilon \sqrt{\Delta t}$

上式是一个近似式，其中假定漂移率 a 和方差率 b^2 都是常数，即等于它们在时间 t 的值。

五、几何布朗运动

我们倒回去考虑广义维纳过程。

假设股票在 t 时刻的价格为 S，如果我们直接把它扔进广义维纳过程，则会得到：

$dS=\mu dt+\sigma dz$

这样的股票价格模型忽略了一个问题：投资者所要求的期望收益率实际上与股票价格无关：

股票收益率的期望值 = 常数
股票收益率的期望值 = 股票价格的漂移率 / 股票价格
股票价格的漂移率 / 股票价格 = 常数
股票价格的漂移率 = 股票价格 × 常数

因此，上式应该修正为：

$dS=\mu S dt+\sigma Sdz$

常数 μ 就是股票收益率的期望值，或写作

$\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dz$

在短时间 Δt 内则有

$\frac{\Delta S}{S}=\mu \Delta t+\sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t}$

变量说明：

变量 μ 为股票价格的期望收益率
变量 σ 为股票价格的波动率
变量 σ^2 为股票价格的方差率

在风险中性世界里，μ 等于无风险利率 r 。

六、伊藤引理

1. 基本概念

我们已经知道伊藤过程定义变量 x 满足下式：

$dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz$

其中 dz 是维纳过程，a 和 b 是 x 和 t 的函数。变量 x 的漂移率为 a，方差率为 b^2 。

伊藤引理说明一个 x 和 t 的函数 G(x, t) 服从以下过程：

$dG=(\frac{\partial G}{\partial x}a +\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^{2})dt+\frac{\partial G}{\partial x}bdz$

漂移率：

$\frac{\partial G}{\partial x}a +\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^{2}$

方差率：

$(\frac{\partial G}{\partial x})^{2}b^{2}$

2. 具体使用

前面我们已经推导了：

$dS=\mu S dt+\sigma Sdz$

代入伊藤引理给出的公式，得到：

$dG=(\frac{\partial G}{\partial S}\mu S +\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial S^2}\sigma ^{2}S^{2})dt+\frac{\partial G}{\partial S}\sigma Sdz$

七、对数正态分布

下面来推导 lnS 所服从的随机过程，定义：

$G=lnS$

求导

$\frac{\partial G}{\partial S}=\frac{1}{S},\frac{\partial^2 G}{\partial S^2}=-\frac{1}{S^{2}},\frac{\partial G}{\partial t}=0$

代入

$dG=(\frac{\partial G}{\partial S}\mu S +\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial S^2}\sigma ^{2}S^{2})dt+\frac{\partial G}{\partial S}\sigma Sdz$

得到

$dG=(\mu -\frac{\sigma ^{2}}{2})dt+\sigma dz$