2023年9月数学建模国赛期间提供ABCDE题思路加Matlab代码,专栏链接(赛前一个月恢复源码199,欢迎大家订阅):http://t.csdn.cn/Um9Zd
目录
介绍
最大流问题
概念与原理
Ford-Fulkerson算法与Edmonds-Karp算法
最小费用最大流问题
概念与原理
网络单纯形法与最短增广路径法
MATLAB代码实现在本节中，我们将展示如何使用MATLAB代码实现最大流问题的Edmonds-Karp算法和最小费用最大流问题的最短增广路径法。请注意，这些代码仅供参考，您可能需要根据具体问题进行调整。
Edmonds-Karp算法
最短增广路径法
数学建模案例
总结
介绍
网络流问题是一类涉及流量分配和网络拓扑的组合优化问题。在这篇博客中，我们将重点介绍网络流问题的两个重要变种：最大流问题和最小费用最大流问题。我们将详细讨论这两个问题的原理，分析解决它们的常用算法，并展示如何使用MATLAB代码实现这些算法。最后，我们将介绍一个数学建模案例，以便更好地理解这些概念。
最大流问题
概念与原理
最大流问题是在一个有向图中找到从源节点（source）到汇节点（sink）的最大流量。有向图中的每条边都有一个正整数容量，表示该边能承受的最大流量。我们的目标是找到一个合法的流量分配方案，使得从源到汇的总流量最大，并且满足以下条件：
- 流量不能超过边的容量。
- 除源节点和汇节点外，任何节点的流入流量等于流出流量。
Ford-Fulkerson算法与Edmonds-Karp算法
Ford-Fulkerson算法是一种解决最大流问题的经典方法。该算法基于以下观察：在流量分配方案中，可以通过增加一条从源到汇的增广路径（augmenting path）来增加总流量。增广路径是一条从源到汇的路径，其边的剩余容量大于0。在找到增广路径后，我们将沿着这条路径增加流量，直到某条边的剩余容量为0。Ford-Fulkerson算法的基本步骤如下：
- 初始化流量分配方案：将所有边的流量设为0。
- 在剩余网络中找到一条增广路径。
- 如果找到增广路径，则沿着路径增加流量，并更新剩余网络；否则，结束算法。
- 返回当前流量分配方案。
Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一个改进版本。该算法通过BFS（广度优先搜索）寻找最短的增广路径，以减少算法的迭代次数。由于Edmonds-Karp算法具有较好的时间复杂度，因此在实际应用中更受欢迎。
最小费用最大流问题
概念与原理
最小费用最大流问题在最大流问题的基础上引入了边的费用。除了找到最大流量分配方案外，我们还希望找到具有最小总费用的方案。我们需要在满足最大流条件的前提下，最小化沿着边流动的流量与边的单位费用的乘积之和。
网络单纯形法与最短增广路径法
网络单纯形法是解决最小费用最大流问题的一种基于线性规划的方法。该算法通过在基本可行解（basic feasible solution）之间移动来寻找最优解。与普通的单纯形法相比，网络单纯形法利用了网络流问题的特殊结构，提高了求解速度。
最短增广路径法是一种基于最短路径的启发式方法。与Edmonds-Karp算法类似，该算法通过寻找具有最小费用的增广路径来逐步增加流量。在每次迭代中，我们使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法寻找具有最小费用的增广路径，并据此更新流量分配方案。
MATLAB代码实现在本节中，我们将展示如何使用MATLAB代码实现最大流问题的Edmonds-Karp算法和最小费用最大流问题的最短增广路径法。请注意，这些代码仅供参考，您可能需要根据具体问题进行调整。
Edmonds-Karp算法
function max_flow = edmonds_karp(capacity, source, sink)% 初始化n = size(capacity, 1);flow = zeros(n);residual_capacity = capacity;max_flow = 0;% 寻找增广路径while true[path, path_capacity] = bfs(residual_capacity, source, sink);if isempty(path)break;endmax_flow = max_flow + path_capacity;% 更新流量分配和剩余容量for i = 1:length(path) - 1u = path(i);v = path(i + 1);flow(u, v) = flow(u, v) + path_capacity;flow(v, u) = -flow(u, v);residual_capacity(u, v) = capacity(u, v) - flow(u, v);residual_capacity(v, u) = capacity(v, u) - flow(v, u);endend
endfunction [path, path_capacity] = bfs(residual_capacity, source, sink)n = size(residual_capacity, 1);visited = false(1, n);parent = zeros(1, n);queue = [source];visited(source) = true;while ~isempty(queue)u = queue(1);queue(1) = [];for v = 1:nif ~visited(v) && residual_capacity(u, v) > 0parent(v) = u;visited(v) = true;if v == sinkbreak;endqueue = [queue, v];endendendif visited(sink)path = [];path_capacity = inf;v = sink;while parent(v) ~= 0u = parent(v);path = [u, path];path_capacity = min(path_capacity, residual_capacity(u, v));v = u;endpath = [path, sink];elsepath = [];path_capacity = 0;end
end最短增广路径法
function [min_cost, max_flow] = min_cost_max_flow(capacity, cost, source, sink)% 初始化n = size(capacity, 1);flow = zeros(n);residual_capacity = capacity;min_cost = 0;max_flow = 0;% 寻找增广路径while true[path, path_capacity, path_cost] = spfa(residual_capacity, cost, source, sink);if isempty(path)break;endmin_cost = min_cost + path_cost;max_flow = max_flow + path_capacity;% 更新流量分配和剩余容量for i = 1:length(path) - 1u = path(i);v = path(i + 1);flow(u, v) = flow(u, v) + path_capacity;flow(v, u) = -flow(u, v);residual_capacity(u, v) = capacity(u, v) - flow(u, v);residual_capacity(v, u) = capacity(v, u) - flow(v, u);endend
endfunction [path, path_capacity, path_cost] = spfa(residual_capacity, cost, source, sink)n = size(residual_capacity, 1);visited = false(1, n);distance = inf(1, n);parent = zeros(1, n);queue = [source];visited(source) = true;distance(source) = 0;while ~isempty(queue)u = queue(1);queue(1) = [];visited(u) = false;for v = 1:nif residual_capacity(u, v) > 0new_distance = distance(u) + cost(u, v);if new_distance < distance(v)distance(v) = new_distance;parent(v) = u;if ~visited(v)queue = [queue, v];visited(v) = true;endendendendendif isfinite(distance(sink))path = [];path_capacity = inf;path_cost= 0;v = sink;while parent(v) ~= 0u = parent(v);path = [u, path];path_capacity = min(path_capacity, residual_capacity(u, v));path_cost = path_cost + cost(u, v);v = u;end数学建模案例
在这个数学建模案例中，我们将解决一个实际的物流问题。假设我们需要将一定数量的货物从多个仓库运输到多个超市。我们知道每个仓库的存储量，每个超市的需求量，以及从仓库到超市的运输费用。我们的目标是找到一种运输方案，使得所有超市的需求得到满足，同时最小化总运输费用。
为了解决这个问题，我们可以将其建模为一个最小费用最大流问题。我们将创建一个具有源节点、汇节点、仓库节点和超市节点的有向图。源节点与仓库节点之间的边表示仓库的存储量，超市节点与汇节点之间的边表示超市的需求量，仓库节点与超市节点之间的边表示运输货物的费用。我们将使用前面实现的最短增广路径法解决这个问题。
% 输入数据：仓库存储量、超市需求量和运输费用
warehouse_capacity = [100, 200, 150];
supermarket_demand = [120, 180, 150];
transportation_cost = [5, 3, 2;1, 4, 6;3, 7, 1
];% 构造有向图
n = length(warehouse_capacity) + length(supermarket_demand) + 2;
source = 1;
sink = n;
capacity = zeros(n);
cost = zeros(n);% 源节点到仓库节点
for i = 1:length(warehouse_capacity)capacity(source, i + 1) = warehouse_capacity(i);
end% 仓库节点到超市节点
for i = 1:length(warehouse_capacity)for j = 1:length(supermarket_demand)capacity(i + 1, j + length(warehouse_capacity) + 1) = inf;cost(i + 1, j + length(warehouse_capacity) + 1) = transportation_cost(i, j);end
end% 超市节点到汇节点
for j = 1:length(supermarket_demand)capacity(j + length(warehouse_capacity) + 1, sink) = supermarket_demand(j);
end% 求解最小费用最大流问题
[min_cost, max_flow] = min_cost_max_flow(capacity, cost, source, sink);% 输出结果
fprintf('最小运输费用：%d\n', min_cost);
fprintf('总运输量：%d\n', max_flow);通过这个案例，我们可以看到最小费用最大流问题在实际物流优化问题中的应用。这种方法可以帮助我们找到一种高效且经济的运输方案，以满足客户需求并降低成本。
总结
在本博客中，我们介绍了网络流问题的两个重要变种：最大流问题和最小费用最大流问题。我们讨论了这些问题的原理，并分析了解决它们的常用算法。我们还展示了如何使用MATLAB代码实现这些算法，并通过一个数学建模案例来展示这些概念的实际应用。希望这篇博客能帮助您更好地理解网络流问题，并为您的数学建模项目提供一些启示。
