状态压缩DP

含义

是一种对状态表示形式的一种优化。

前置知识——常见的位操作

任何二进制数位；

1. &1 得到它本身。
2. ^1 则取反。
3. &0 则赋值为 00。
4. |1 则赋值为 11。

通常二进制的第一位我们称之为第零位。

• (n>>k)&1 取出二进制下 nn 的第 kk 位（从右往左数）。
• n&((1<<k)-1) 去除二进制下 nn 的右 kk 位。
• n^(1<<k) 将二进制下 nn 的第 kk 位取反。
• n|(1<<k) 将二进制下 nn 的第 kk 位赋值为 11。
• n&(~(1<<k)) 将二进制下 nn 的第 kk 位赋值为 00。

模板例题——P10447 最短 Hamilton 路径

见 https://www.luogu.com.cn/article/z883dedy。

前置知识——常用优先级

四则运算符 >> 位移运算符 >> 位运算符 >> 逻辑运算符。

例题

First：P1879

定义状态 dp_{i,j}dpi,j​ 表示前 ii 行且第 ii 行的种草状态为二进制下的 jj 的方案数。

答案为所有 dp_{m,j}dpm,j​ 的和对 100000000100000000 取模。

维护 soil_isoili​ 表示第 ii 行的肥沃情况。当种草状态 j \& soil_i = jj&soili​=j，种草在肥沃土地上。

上下中草的两个状态按位与的结果为 00 时，不冲突。

种草状态 ii 左移 11 位后再和 ii 按位与的结果为 00 时，不冲突。

初始状态：dp_{0,0}=1dp0,0​=1

状态转移除了判肥沃以外还是有点板的。

Second：P2704 炮兵阵地

定义状态为 dp_{i,j,k}dpi,j,k​ 表示前 ii 行且第 ii 行状态为二进制下的 jj，第 i-1i−1 行的状态为二进制下的 kk 的最大炮兵数。

答案即为 dp_{n,j,k}dpn,j,k​ 的最大值。

状态转移稍有点ex。

提示：需要维护一个 soil_isoili​，soil[i]=(soil[i]<<1)+(c=='P');。

初始状态：dp_{0,0}=0dp0,0​=0，其余 极小值。

优化：滚动数组、提前筛可能状态。

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