例一 画出多项式 f ( x ) = 2 x 6 + 3 x 5 + 3 x 3 − 2 x 2 f(x) = 2x^6 + 3x^5 + 3x^3 - 2x^2 f(x)=2x6+3x5+3x3−2x2 的图像。使用 f ′ f' f′ 和 f ′ ′ f'' f′′ 的图像来估计所有的极大值和极小值点及凹凸区间。
解
如果我们只指定一个定义域而不指定一个值域,许多图形设备会根据计算出的值推断出一个合适的值域。图1显示了在我们指定 − 5 ≤ x ≤ 5 -5 \le x \le 5 −5≤x≤5 时某个设备绘制的图像。虽然这个视图矩形对于显示渐近行为(或端点行为)与 y = 2 x 6 y = 2x^6 y=2x6 相同很有用,但它显然隐藏了一些更精细的细节。因此,我们更改为图2所示的 [ − 3 , 2 ] [-3, 2] [−3,2] 和 [ − 50 , 100 ] [-50, 100] [−50,100] 的视图矩形。
从图2可以看出,当 x ≈ − 1.62 x \approx -1.62 x≈−1.62 时,函数有一个大约为 − 15.33 -15.33 −15.33 的绝对最小值(通过使用光标),并且函数在 ( − ∞ , − 1.62 ) (-∞, -1.62) (−∞,−1.62) 上递减,在 ( − 1.62 , ∞ ) (-1.62, ∞) (−1.62,∞) 上递增。此外,在原点处似乎有一个水平切线,并且在 x = 0 x = 0 x=0 和 x x x 在 − 2 -2 −2 和 − 1 -1 −1 之间的某个位置时有拐点。
现在让我们尝试使用微积分来确认这些印象。我们进行微分得到:
f ′ ( x ) = 12 x 5 + 15 x 4 + 9 x 2 − 4 x f'(x) = 12x^5 + 15x^4 + 9x^2 - 4x f′(x)=12x5+15x4+9x2−4x
f ′ ′ ( x ) = 60 x 4 + 60 x 3 + 18 x − 4 f''(x) = 60x^4 + 60x^3 + 18x - 4 f′′(x)=60x4+60x3+18x−4
当我们在图3中绘制 f ′ f' f′ 时,我们看到 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 在 x ≈ − 1.62 x \approx -1.62 x≈−1.62 时从负变为正;这通过一阶导数检验(First Derivative Test)确认了我们先前找到的最小值。但或许令我们惊讶的是,我们还注意到 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 在 x = 0 x = 0 x=0 时从正变为负,并且在 x ≈ 0.35 x \approx 0.35 x≈0.35 时从负变为正。这意味着 f f f 在 0 0 0 处有一个局部最大值,在 x ≈ 0.35 x \approx 0.35 x≈0.35 处有一个局部最小值,但这些在图2中被隐藏了。事实上,如果我们现在放大到图4中的原点,我们会看到之前错过的内容:当 x = 0 x = 0 x=0 时的局部最大值为 0 0 0,当 x ≈ 0.35 x \approx 0.35 x≈0.35 时的局部最小值约为 − 0.1 -0.1 −0.1。
关于凹凸性和拐点呢?从图2和图4可以看出,当 x x x 稍微小于 − 1 -1 −1 并且当 x x x 稍微大于 0 0 0 时,似乎有拐点。但从函数 f f f 的图像很难确定拐点,所以我们绘制了二阶导数 f ′ ′ f'' f′′ 在图5中。我们看到 f ′ ′ f'' f′′ 在 x ≈ − 1.23 x \approx -1.23 x≈−1.23 时从正变为负,在 x ≈ 0.19 x \approx 0.19 x≈0.19 时从负变为正。因此,精确到两位小数, f f f 在 ( − ∞ , − 1.23 ) (-∞, -1.23) (−∞,−1.23) 和 ( 0.19 , ∞ ) (0.19, ∞) (0.19,∞) 上是凹向上的,在 ( − 1.23 , 0.19 ) (-1.23, 0.19) (−1.23,0.19) 上是凹向下的。拐点是 ( − 1.23 , − 10.18 ) (-1.23, -10.18) (−1.23,−10.18) 和 ( 0.19 , − 0.05 ) (0.19, -0.05) (0.19,−0.05)。
我们发现没有单一的图像能揭示这个多项式的所有重要特征。但图2和图4结合在一起时,可以提供一个准确的画面。
例二 画出函数 f ( x ) = x 2 + 7 x + 3 x 2 f(x) = \frac{x^2 + 7x + 3}{x^2} f(x)=x2x2+7x+3 的图像,在包含函数所有重要特征的视图矩形中。估计最大值和最小值以及凹凸区间。然后使用微积分精确求出这些量。
解
图6由计算机自动缩放生成,是个灾难。一些图形计算器使用 [ − 10 , 10 ] [-10, 10] [−10,10] 作为默认的视图矩形,所以让我们试试。我们得到了图7所示的图像,这是一大改进。
y轴似乎是一个垂直渐近线,确实如此,因为
lim x → 0 x 2 + 7 x + 3 x 2 = ∞ \lim_{{x \to 0}} \frac{x^2 + 7x + 3}{x^2} = \infty x→0limx2x2+7x+3=∞
图7还允许我们估计 x x x截距:大约是 − 0.5 -0.5 −0.5和 − 6.5 -6.5 −6.5。通过使用求解方程 x 2 + 7 x + 3 = 0 x^2 + 7x + 3 = 0 x2+7x+3=0 的二次公式,可以得到精确值: x = − 7 ± 37 2 x = \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{2} x=2−7±37。
为了更好地观察水平渐近线,我们更改视图矩形为 [ − 20 , 20 ] [-20, 20] [−20,20] 和 [ − 5 , 10 ] [-5, 10] [−5,10] 如图8所示。看起来 y = 1 y = 1 y=1 是水平渐近线,并且很容易确认:
lim x → ± ∞ x 2 + 7 x + 3 x 2 = lim x → ± ∞ ( 1 + 7 x + 3 x 2 ) = 1 \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{x^2 + 7x + 3}{x^2} = \lim_{{x \to \pm \infty}} \left(1 + \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2}\right) = 1 x→±∞limx2x2+7x+3=x→±∞lim(1+x7+x23)=1
为了估计最小值,我们放大视图矩形为 [ − 3 , 0 ] [-3, 0] [−3,0] 和 [ − 4 , 2 ] [-4, 2] [−4,2] 如图9所示。光标显示绝对最小值大约是 − 3.1 -3.1 −3.1,当 x ≈ − 0.9 x \approx -0.9 x≈−0.9 时,并且我们看到函数在 ( − ∞ , − 0.9 ) (-∞, -0.9) (−∞,−0.9) 和 ( 0 , ∞ ) (0, ∞) (0,∞) 上递减,在 ( − 0.9 , 0 ) (-0.9, 0) (−0.9,0) 上递增。通过求导可以得到精确值:
f ′ ( x ) = − 7 x 2 − 6 x 3 = − 7 x − 6 x 3 f'(x) = \frac{-7}{x^2} - \frac{6}{x^3} = \frac{-7x - 6}{x^3} f′(x)=x2−7−x36=x3−7x−6
这表明 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0 当 − 7 6 < x < 0 -\frac{7}{6} < x < 0 −67<x<0 并且 f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0 当 x < − 7 6 x < -\frac{7}{6} x<−67 并且 x > 0 x > 0 x>0。精确的最小值是 f ( − 7 6 ) = − 37 12 ≈ − 3.08 f\left(-\frac{7}{6}\right) = -\frac{37}{12} \approx -3.08 f(−67)=−1237≈−3.08。
图9还显示拐点发生在 x = − 1 x = -1 x=−1 和 x = − 2 x = -2 x=−2 之间的某处。我们可以通过使用二阶导数的图像更准确地估计它,但在这种情况下,找到精确值同样容易。因为
f ′ ′ ( x ) = 14 x 3 + 18 x 4 = 2 ( 7 x + 9 ) x 4 f''(x) = \frac{14}{x^3} + \frac{18}{x^4} = \frac{2(7x + 9)}{x^4} f′′(x)=x314+x418=x42(7x+9)
我们看到 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x) > 0 f′′(x)>0 当 x > − 9 7 x > -\frac{9}{7} x>−79 (当 x ≠ 0 x \neq 0 x=0)。所以 f f f 在 ( − ∞ , − 9 7 ) (-∞, -\frac{9}{7}) (−∞,−79) 和 ( 0 , ∞ ) (0, ∞) (0,∞) 上凹向上,并在 ( − ∞ , − 9 7 ) (-∞, -\frac{9}{7}) (−∞,−79) 上凹向下。拐点是 ( − 9 7 , − 71 27 ) (- \frac{9}{7}, - \frac{71}{27}) (−79,−2771)。
通过使用前两个导数的分析表明,图8显示了曲线的所有主要方面。
例三 画出函数 f ( x ) = x 2 ( x + 1 ) 3 ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 4 f(x) = \frac{x^2(x+1)^3}{(x-2)^2(x-4)^4} f(x)=(x−2)2(x−4)4x2(x+1)3 的图像。
解
根据我们在例子2中对有理函数的经验,让我们在视图矩形 [ − 10 , 10 ] [-10, 10] [−10,10] 内画出 f f f 的图像。从图10可以看出,我们需要放大以看到一些更精细的细节,并且还需要缩小以看到更大的图像。但作为智能缩放的指导,让我们首先仔细看看 f ( x ) f(x) f(x) 的表达式。由于分母中的因子 ( x − 2 ) 2 (x - 2)^2 (x−2)2 和 ( x − 4 ) 4 (x - 4)^4 (x−4)4,我们预计 x = 2 x = 2 x=2 和 x = 4 x = 4 x=4 会是垂直渐近线。确实如此:
lim x → 2 x 2 ( x + 1 ) 3 ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 4 = ∞ and lim x → 4 x 2 ( x + 1 ) 3 ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 4 = ∞ \lim_{{x \to 2}} \frac{x^2(x+1)^3}{(x-2)^2(x-4)^4} = \infty \quad \text{and} \quad \lim_{{x \to 4}} \frac{x^2(x+1)^3}{(x-2)^2(x-4)^4} = \infty x→2lim(x−2)2(x−4)4x2(x+1)3=∞andx→4lim(x−2)2(x−4)4x2(x+1)3=∞
为了找到水平渐近线,我们将分子和分母都除以 x 6 x^6 x6:
x 2 ( x + 1 ) 3 ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 4 ≈ x 2 x 6 ( 1 + 1 x ) 3 ( x − 2 x ) 2 ( x − 4 x ) 4 = 1 x 4 ( 1 + 1 x ) 3 ( 1 − 2 x ) 2 ( 1 − 4 x ) 4 \frac{x^2(x+1)^3}{(x-2)^2(x-4)^4} \approx \frac{\frac{x^2}{x^6} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^3}{\left(\frac{x-2}{x}\right)^2 \left(\frac{x-4}{x}\right)^4} = \frac{\frac{1}{x^4} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^3}{\left(1 - \frac{2}{x}\right)^2 \left(1 - \frac{4}{x}\right)^4} (x−2)2(x−4)4x2(x+1)3≈(xx−2)2(xx−4)4x6x2(1+x1)3=(1−x2)2(1−x4)4x41(1+x1)3
这表明 f ( x ) → 0 f(x) \to 0 f(x)→0 当 x → ± ∞ x \to \pm \infty x→±∞,所以 x x x轴是一个水平渐近线。
考虑图像在x截距附近的行为也非常有用。由于 x 2 x^2 x2 是正的, f ( x ) f(x) f(x) 在 0 0 0 处不变号,因此其图像不会在 0 0 0 处穿过x轴。但是,由于因子 ( x + 1 ) 3 (x + 1)^3 (x+1)3,图像确实在 − 1 -1 −1 处穿过 x x x 轴并且在那里有一个水平切线。将所有这些信息结合起来,但不使用导数,我们看到曲线必须看起来像图11中的那个。
现在我们知道要寻找什么了,我们放大(几次)以生成图12和图13中的图像,并缩小(几次)以得到图14。
我们可以从这些图中读出绝对最小值大约为 − 0.02 -0.02 −0.02,并且在 x ≈ − 20 x \approx -20 x≈−20 时出现。还有一个局部最大值大约为 0.00002 0.00002 0.00002,当 x ≈ − 0.3 x \approx -0.3 x≈−0.3 时,以及局部最小值大约为 211 211 211,当 x ≈ 2.5 x \approx 2.5 x≈2.5 时。这些图还显示了三个拐点,分别在 x ≈ − 35 , − 5 x \approx -35, -5 x≈−35,−5 和 − 1 -1 −1 附近,以及两个拐点在 − 1 -1 −1 和 0 0 0 之间。要精确估计拐点,我们需要绘制 f ′ ′ f'' f′′,但手工计算 f ′ ′ f'' f′′ 是一项繁重的工作。如果你有一个计算机代数系统,那么这很容易做到。
我们已经看到,对于这个特定函数,需要三个图(图12,13和14)来传达所有有用的信息。唯一能在一个图上显示所有这些特征的方法是手工绘制。尽管有夸张和失真,图11确实设法总结了函数的本质。
示例 4 绘制函数 f ( x ) = sin ( x + sin 2 x ) f(x) = \sin(x + \sin 2x) f(x)=sin(x+sin2x) 的图像。对于 0 ≤ x ≤ π 0 \le x \le \pi 0≤x≤π,估算所有的最大值和最小值、增减区间以及拐点。
解答
我们首先注意到, f f f 是周期为 2 π 2\pi 2π 的周期函数。同时, f f f 是奇函数,并且 ∣ f ( x ) ∣ ≤ 1 |f(x)| \le 1 ∣f(x)∣≤1 对于所有 x x x 成立。因此,选择的视图矩形不是问题:我们从 [ 0 , π ] [0, \pi] [0,π] 由 [ − 1.1 , 1.1 ] [-1.1, 1.1] [−1.1,1.1] 开始。(见图15)在这个窗口中,似乎有三个局部最大值和两个局部最小值。为了确认并更准确地定位它们,我们计算:
f ′ ( x ) = cos ( x + sin 2 x ) ⋅ ( 1 + 2 cos 2 x ) f'(x) = \cos(x + \sin 2x) \cdot (1 + 2 \cos 2x) f′(x)=cos(x+sin2x)⋅(1+2cos2x)
并在图16中绘制 f f f 和 f ′ f' f′。
使用放大和一阶导数测试,我们找到如下近似值:
-
增区间 ( 0 , 0.6 ) , ( 1.0 , 1.6 ) , ( 2.1 , 2.5 ) (0, 0.6), (1.0, 1.6), (2.1, 2.5) (0,0.6),(1.0,1.6),(2.1,2.5)
-
减区间 ( 0.6 , 1.0 ) , ( 1.6 , 2.1 ) , ( 2.5 , π ) (0.6, 1.0), (1.6, 2.1), (2.5, \pi) (0.6,1.0),(1.6,2.1),(2.5,π)
-
局部最大值 f ( 0.6 ) ≈ 1 , f ( 1.6 ) ≈ 1 , f ( 2.5 ) ≈ 1 f(0.6) \approx 1, f(1.6) \approx 1, f(2.5) \approx 1 f(0.6)≈1,f(1.6)≈1,f(2.5)≈1
-
局部最小值 f ( 1.0 ) ≈ 0.94 , f ( 2.1 ) ≈ 0.94 f(1.0) \approx 0.94, f(2.1) \approx 0.94 f(1.0)≈0.94,f(2.1)≈0.94
二阶导数为:
f ′ ′ ( x ) = − ( 1 + 2 cos 2 x ) 2 sin ( x + sin 2 x ) − 4 sin 2 x cos ( x + sin 2 x ) f''(x) = -(1 + 2 \cos 2x)^2 \sin(x + \sin 2x) - 4 \sin 2x \cos(x + \sin 2x) f′′(x)=−(1+2cos2x)2sin(x+sin2x)−4sin2xcos(x+sin2x)
在图17中绘制 f f f 和 f ′ ′ f'' f′′,我们得到如下近似值:
-
向上凹区间 ( 0.8 , 1.3 ) , ( 1.8 , 2.3 ) (0.8, 1.3), (1.8, 2.3) (0.8,1.3),(1.8,2.3)
-
向下凹区间 ( 0 , 0.8 ) , ( 1.3 , 1.8 ) , ( 2.3 , π ) (0, 0.8), (1.3, 1.8), (2.3, \pi) (0,0.8),(1.3,1.8),(2.3,π)
-
拐点 ( 0 , 0 ) , ( 0.8 , 0.97 ) , ( 1.3 , 0.97 ) , ( 1.8 , 0.97 ) , ( 2.3 , 0.97 ) (0, 0), (0.8, 0.97), (1.3, 0.97), (1.8, 0.97), (2.3, 0.97) (0,0),(0.8,0.97),(1.3,0.97),(1.8,0.97),(2.3,0.97)
通过检查图15确实表示了 f f f 在 0 ≤ x ≤ π 0 \le x \le \pi 0≤x≤π 内的准确图像,我们可以说图18中扩展的图准确表示了 − 2 π ≤ x ≤ 2 π -2\pi \le x \le 2\pi −2π≤x≤2π 内的 f f f。
我们的最终例子与函数族有关。这意味着函数族中的函数通过包含一个或多个任意常数的公式彼此相关。每个常数值都会产生该族的一个成员,目的是观察随着常数变化函数图像的变化。
示例 5 当 c c c 变化时,函数 f ( x ) = 1 x 2 + 2 x + c f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + c} f(x)=x2+2x+c1 的图像如何变化?
解
图19和图20(特例 c = 2 c = 2 c=2 和 c = − 2 c = -2 c=−2)显示了两条非常不同的曲线。
在绘制更多图像之前,让我们看看这个函数族的成员有什么共同点。由于
lim x → ± ∞ 1 x 2 + 2 x + c = 0 \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{1}{x^2 + 2x + c} = 0 x→±∞limx2+2x+c1=0
对于任何 c c c 值,它们都有 x x x 轴作为水平渐近线。垂直渐近线将出现在 x 2 + 2 x + c = 0 x^2 + 2x + c = 0 x2+2x+c=0 处。解这个二次方程,我们得到:
x = − 1 ± 1 − c x = -1 \pm \sqrt{1 - c} x=−1±1−c
当 c > 1 c > 1 c>1 时,没有垂直渐近线(如图19所示)。当 c = 1 c = 1 c=1 时,图像在 x = − 1 x = -1 x=−1 处有单个垂直渐近线,因为
lim x → − 1 1 x 2 + 2 x + 1 = lim x → − 1 1 ( x + 1 ) 2 = ∞ \lim_{{x \to -1}} \frac{1}{x^2 + 2x + 1} = \lim_{{x \to -1}} \frac{1}{(x + 1)^2} = \infty x→−1limx2+2x+11=x→−1lim(x+1)21=∞
当 c < 1 c < 1 c<1 时,有两个垂直渐近线: x = − 1 ± 1 − c x = -1 \pm \sqrt{1 - c} x=−1±1−c(如图20所示)。
现在我们计算导数:
f ′ ( x ) = − 2 x + 2 ( x 2 + 2 x + c ) 2 f'(x) = -\frac{2x + 2}{(x^2 + 2x + c)^2} f′(x)=−(x2+2x+c)22x+2
这表明当 x = − 1 x = -1 x=−1 时 f ′ ( x ) = 0 f'(x) = 0 f′(x)=0(如果 c ≠ 1 c \neq 1 c=1),当 x < − 1 x < -1 x<−1 时 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0,当 x > − 1 x > -1 x>−1 时 f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f′(x)<0。对于 c ≥ 1 c \ge 1 c≥1,这意味着 f f f 在 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) (−∞,−1) 上增加,在 ( − 1 , ∞ ) (-1, \infty) (−1,∞) 上减少。对于 c > 1 c > 1 c>1,存在一个绝对最大值 f ( − 1 ) = 1 c − 1 f(-1) = \frac{1}{c - 1} f(−1)=c−11。对于 c < 1 c < 1 c<1, f ( − 1 ) = 1 c − 1 f(-1) = \frac{1}{c - 1} f(−1)=c−11 是局部最大值,增区间和减区间在垂直渐近线处中断。
图21展示了该族的五个成员,它们都在视图矩形 [ − 5 , 4 ] [-5, 4] [−5,4] 由 [ − 2 , 2 ] [-2, 2] [−2,2] 内绘制。正如预测的那样,当 c = 1 c = 1 c=1 时,从两个垂直渐近线过渡到一个垂直渐近线,然后当 c > 1 c > 1 c>1 时没有。随着 c c c 从 1 1 1增加,我们看到最大点变得更低;这是因为当 c → ∞ c \to \infty c→∞ 时, 1 c − 1 → 0 \frac{1}{c - 1} \to 0 c−11→0。当 c c c 从 1 1 1减小,垂直渐近线变得越来越分散,因为它们之间的距离是 2 1 − c 2\sqrt{1 - c} 21−c,随着 c → − ∞ c \to -\infty c→−∞ 变大。同样,最大点接近 x x x 轴,因为 1 c − 1 → 0 \frac{1}{c - 1} \to 0 c−11→0 当 c → − ∞ c \to -\infty c→−∞。
当 c ≤ 1 c \le 1 c≤1 时显然没有拐点。对于 c > 1 c > 1 c>1,我们计算
f ′ ′ ( x ) = 2 ( 3 x 2 + 6 x + 4 − c ) ( x 2 + 2 x + c ) 3 f''(x) = \frac{2(3x^2 + 6x + 4 - c)}{(x^2 + 2x + c)^3} f′′(x)=(x2+2x+c)32(3x2+6x+4−c)
并推断拐点出现在 x = − 1 ± 3 ( c − 1 ) 3 x = -1 \pm \sqrt{\frac{3(c - 1)}{3}} x=−1±33(c−1) 处。因此,随着 c c c 增加,拐点变得更加分散,这从图21的最后两个部分中可以看出。