实验一

实验题目

1、兔子繁殖问题(Fibonacci’s Rabbits)。一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少只兔子。

（1）请列出兔子繁殖问题的递推公式；

（2）请写出兔子繁殖问题的递归结束的条件；

（3）请编写程序用递归方式实现对兔子繁殖问题的求解，计算输出每个月各有多少只兔子。

（1）

当n = 1时，F(1) = 1

当n = 2时，F(2) = 1

当n > 2时，F(n) = F(n-1) + F(n-2)

（2）

1.当月份n<=0时，递归结束：

n为负数，不存在负数个月份，程序不会运行；n为0，还未开始繁殖，兔子数量为0。（此时一般是输入错误）

2.当月份n1或n2，此时兔子数量为1对，停止繁殖。

（3）

【代码】

python">def fib(months):if months == 0:return 0elif months == 1:return 1else:return fib(months-1) + fib(months-2)n = int(input("请输入月份："))
for i in range(n):rabbit = fib(i)print("第", i+1, "个月的兔子数量：", rabbit, "只")

2、编程解决如下问题：

（1）建立列表lst，由键盘输入该列表的n个成员，n的大小由录入者控制;

（2）利用匿名函数和filter函数过滤掉其中的偶数，并将奇数保留在列表lst1中;

（3）利用匿名函数和map函数，求出lst1中每一个成员的倒数，并将它们保存到列表lst2中;

（4）分别输出lst，lst1，lst2。

【代码】

python">n = int(input("input number:"))lst = []for i in range(n):member = int(input('input member:'))lst.append(member)lst1 = list(filter(lambda x: x % 2 == 1, lst))lst2 = list(map(lambda y: 1 / y, lst))print(lst)print(lst1)print(lst2)

【实例】

3、请分别用非递归方法和Fibonacci通项公式求出兔子繁殖问题(Fibonacci’s Rabbits)中第n个月小兔子的数量。要求如下：

（1） 列出Fibonacci通项公式

（2）编程实现题目中的两种算法

（3）在程序中，n由使用者输入，当为负数或0时，报异常，提示用户输入值错误，并允许用户重新输入，直到用户输入正确为止。

（4）此程序允许用户不间断使用，即计算完毕一次询问用户是否继续计算，用户输入“是”，则继续；输入“否”，则退出程序。

（5）将实验题目1中的方法与本题中两种方法进行比较，说出它们的优劣。

（1）

$Fn=({\phi }^n-(1-\phi {)}^n)/\surd 5(2)$

$\phi （黄金分割率）=(\surd 5+1)/2\approx 1.6180339887$

【代码】

python">import mathdef fib_F1(n):phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2return round((phi ** n - (-phi) ** (-n)) / math.sqrt(5))def fib_fei(n):if n <= 0:​    raise ValueError("输入值错误")if n == 1 or n == 2:​    return 1a, b = 1, 1for _ in range(3, n + 1):​    a, b = b, a + breturn bdef main():while True:​    try:​      n = int(input("请输入月份 n："))​      if n <= 0:​        raise ValueError("输入值错误")​    except ValueError as e:​      print(e)​      continue​    result1 = fib_F1(n)​    result2 = fib_fei(n)​    print(f"使用 Fibonacci 通项公式计算结果：{result1}")​    print(f"使用非递归方法计算结果：{result2}")​    choice = input("是否继续计算？（是/否）")​    if choice.lower() == "否":​      breakmain()

【实例】

（5）

递归方法的优点：

代码简洁易懂，并且不需要额外的数学公式或复杂的迭代逻辑。

递归方法的缺点：会进行大量重复的计算，时间复杂度高；递归可能会导致栈溢出，特别是对于较大的输入值。

非递归方法的优点：

有较低的时间复杂度，避免了重复计算，计算更高效；并且通常只需要保存前两个斐波那契数的值，占用的内存较少。

非递归方法的缺点：

需要使用迭代或循环来计算斐波那契数，可能需要额外变量和逻辑，代码更复杂，

并且不太直观。

Fibonacci 通项公式方法的优点：

Fibonacci 通项公式直接计算第 n 个斐波那契数，不需要逐个相加或进行递归，有较低的时间复杂度；能够得到准确的结果，无需担心误差积累问题。

Fibonacci 通项公式方法的缺点：

公式中包含浮点数运算和开方运算，对于大规模的计算，可能会出现精度问题或计算时间较长；需要数学知识和公式推导，不太直观。

4、修改实验题目2的程序，要求如下：

（1）建立函数inputZ(n)，完成lst的录入，录入时若lst<=0时，报异常，并允许用户重新录入数据,返回值为列表lst。

（2）建立函数eN(lst)，完成偶数过滤，求每个成员的倒数，然后，将所有成员累加求和，并返回和。

（3）编写可以调用上述函数的应用函数,计算列表中每个奇数成员的倒数之和，此函数运行后，可供用户循环使用，直到输入n为止，退出程序。

【代码】

python">def inputZ(n, lst=None):if lst is None:​    lst = []temp_lst = []for i in range(n):​    while True:​      try:​        member = float(input(f"请输入第{i+1}个成员："))​        if member <= 0:​          raise ValueError("输入值错误")​        temp_lst.append(member)​        break​      except ValueError as e:​        print(e)lst += temp_lstreturn lstdef eN(lst):sum_inverse = 0for i in lst:​    if i % 2 == 0:​      sum_inverse += 1 / ireturn sum_inversedef odd(lst):sum_inverse = 0for i in lst:​    if i % 2 != 0:​      sum_inverse += 1 / ireturn sum_inversedef main():lst = []while True:​    try:​      print("请选择功能：")​      print("1. 录入列表")​      print("2. 完成偶数过滤，求每个偶数成员的倒数，并计算总和")​      print("3. 完成奇数过滤，求每个奇数成员的倒数，并计算总和")​      print("4. 退出程序")​      choice = input("请输入选择：")​      if choice == "1":​        n = int(input("请输入列表成员的个数："))​        if n <= 0:​          raise ValueError("输入值错误")​        lst = inputZ(n, lst)​        print("列表成员：", lst)​      elif choice == "2":​        if not lst:​          print("请先录入列表")​          continue​        result = eN(lst)​        print("列表中每个偶数成员的倒数之和为：", result)​      elif choice == "3":​        if not lst:​          print("请先录入列表")​          continue​        result = odd(lst)​        print("列表中每个奇数成员的倒数之和为：", result)​      elif choice == "4":​        break​    except ValueError as e:​      print(e)​      continuemain()

【实例】