树的重心

题目描述

给定一颗树，树中包含 n 个结点（编号 1∼n）和 n−1 条无向边。请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个结点被称为树的重心。

输入格式

第一行包含整数 n，表示树的结点数。
接下来 n−1 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示点 a 和点 b 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数 m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

数据规模与约定

$1\le n\le 10^5$

样例输入

9
1 2
1 7
1 4
2 8
2 5
4 3
3 9
4 6

样例输出

4

思路

树的重心模板题。那么，怎么才能找到某个点(某个重心)，将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小呢？一颗树中，删除某个点后，剩余的各个连通块是该结点子结点所在的各个连通块和该结点的父结点所在的连通块。我们可以递归地求该结点的各个子节点所在的连通块大小，并用sum求和，那么父节点所在的连通块大小就是 $n-sum-1$ (-1是减去该结点)。至于无向边的存储，可以采用邻接表，将无向边转为两个有向边存储，即存储有向边$(a,b)$和$(b,a)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int maxn = 1e5 + 6;
const int maxm = 5e5 + 6;struct edge
{int to; // to为边的指向
};vector<edge> e[maxn]; // 存储以点i为起点的边int n;
int _size[maxn];  // u结点的最大子树的结点数
int sum[maxn];    // 以u为根的子树的结点数
bool vis[maxn];   // 结点u是否访问过
int minNum[maxn]; // 删除u后，剩余各个连通块中结点数的最大值int ans = INT_MAX; // 删除重心后，剩余各个联通块中结点数的最大值int dfs(int u)
{vis[u] = true;    // 标记该点已被访问过int cur_size = 0; // u结点的最大子树的结点数int cur_sum = 1;  // 以u为根的子树的结点数，初始化时加上该结点本身(即+1)for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) // 遍历所有以u为起点的边{int v = e[u][i].to; // v是u的邻接点if (vis[v])continue;int num = dfs(v);              // 递归，并将返回的子树的结点数存储在num中cur_size = max(cur_size, num); // 记录最大子树的结点树cur_sum += num;                // 累加各个子树的结点数}_size[u] = cur_size;sum[u] = cur_sum;minNum[u] = max(cur_size, n - cur_sum);ans = min(ans, minNum[u]);return cur_sum; // 返回以u为根的子树的结点数
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;int a, b;// 读入n-1条无向边，并用邻接表存储for (int i = 1; i <= n - 1; i++){cin >> a >> b;e[a].push_back({b});e[b].push_back({a});}dfs(1); // 可以以任意点为起点递归cout << ans << '\n';return 0;
}