本文要点

受限玻尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machine, RBM）是一种强大的生成式随机神经网络，在机器学习和深度学习领域有着广泛的应用。本文将深入探讨受限玻尔兹曼机的原理，详细介绍其与玻尔兹曼分布的关系、“受限”的含义以及对比散度算法这一核心训练方法。同时给出使用 Python 和 NumPy 库实现受限玻尔兹曼机的具体代码。此外，还会将受限玻尔兹曼机与传统神经网络从原理、训练方式、损失函数、优缺点和适用场景等角度进行详细对比，最后通过手写数字识别的示例展示其应用。

一、引言

在机器学习和深度学习的发展历程中，受限玻尔兹曼机与传统神经网络都是重要的模型。传统神经网络以其强大的非线性映射能力在分类、回归等任务中表现出色，而受限玻尔兹曼机则以其独特的生成能力和无监督学习特性受到关注。了解它们之间的差异以及受限玻尔兹曼机自身的特点，有助于我们根据具体任务选择合适的模型。

二、受限玻尔兹曼机与玻尔兹曼分布的关系

2.1 理论基础关联

玻尔兹曼分布描述了在热平衡状态下，系统中的粒子处于不同能量状态的概率分布情况，其公式为 $P(s)=\frac{e^{-\frac{E(s)}{kT}}}{Z}$ ，其中 $P(s)$ 是系统处于状态 $s$ 的概率， $E(s)$ 是该状态的能量， $k$ 是玻尔兹曼常数， $T$ 是温度， $Z$ 是配分函数。

受限玻尔兹曼机本质上是一种基于概率的模型，它假设可见层和隐藏层节点的状态组合服从玻尔兹曼分布。通过定义一个能量函数 $E(v,h)$ （其中 $v$ 表示可见层节点状态， $h$ 表示隐藏层节点状态），可以确定节点状态组合 $(v,h)$ 出现的概率 $P(v,h)=\frac{e^{-E(v,h)}}{Z}$ ，这里的概率分布形式与玻尔兹曼分布一致。

2.2 能量与概率的相似性

在玻尔兹曼分布中，系统更倾向于处于能量较低的状态，因为低能量状态对应的概率更高。在受限玻尔兹曼机里，同样遵循这一规律。模型通过调整权重和偏置来改变能量函数，使得模型更有可能生成那些对应低能量的状态组合。例如，在图像生成任务中，RBM 会学习到图像的常见模式，这些模式对应的状态组合能量较低，从而以较高的概率被生成。

三、“受限”的含义

受限玻尔兹曼机的“受限”主要体现在其网络结构上。

3.1 层内无连接限制

在普通玻尔兹曼机中，任意两个节点之间都可以存在连接，节点之间的相互作用较为复杂。而在受限玻尔兹曼机里，同一层内的节点（可见层内节点之间以及隐藏层内节点之间）不存在连接，仅在可见层和隐藏层之间存在连接。

以手写数字识别任务为例，可见层的每个节点代表手写数字图像中的一个像素值。若采用普通玻尔兹曼机，像素节点之间会相互连接，这使得模型的计算复杂度极高，且难以分析和优化。而在受限玻尔兹曼机中，可见层像素节点之间没有连接，简化了模型结构。隐藏层节点用于提取手写数字的特征，如笔画的边缘、拐角等，同样隐藏层内节点间无连接，这样可以更清晰地将可见层的像素信息映射到隐藏层的特征表示上，降低了模型的复杂度和训练难度。

3.2 二分图结构限制

这种层内无连接的设计使得受限玻尔兹曼机的结构呈现为二分图。二分图结构使得模型的计算和训练更加高效，因为在计算节点状态的条件概率时，可以利用层间连接的特性进行简化。例如，在计算隐藏层节点状态的条件概率时，只需要考虑可见层节点的状态；计算可见层节点状态的条件概率时，只需要考虑隐藏层节点的状态，避免了复杂的多层交互计算。

四、受限玻尔兹曼机原理

4.1 模型结构

受限玻尔兹曼机由可见层和隐藏层两层节点构成，同一层内的节点之间没有连接，仅在可见层和隐藏层之间存在全连接。这种结构简化了模型的计算和训练过程，使得模型能够高效地学习数据的特征。可见层负责接收输入数据，例如在手写数字识别任务中，可见层的每个节点可以对应图像中的一个像素；隐藏层则用于提取输入数据的特征，每个隐藏层节点可以看作是一个特征探测器。

4.2 能量函数与概率分布

受限玻尔兹曼机基于玻尔兹曼分布来描述系统的状态。系统的状态由可见层状态 $v$ 和隐藏层状态 $h$ 共同决定，其能量函数定义为：
$$E(v,h)=-\sum _i{b}_i{v}_i-\sum _j{c}_j{h}_j-\sum _{i,j}{W}_{ij}{v}_i{h}_j$$
其中， $b_i$ 是可见层节点 $i$ 的偏置， $c_j$ 是隐藏层节点 $j$ 的偏置， $W_{ij}$ 是可见层节点 $i$ 和隐藏层节点 $j$ 之间的连接权重。

系统处于状态 $(v,h)$ 的概率为：
$$P(v,h)=\frac{e^{-E(v,h)}}{Z}$$
其中 $$Z=\sum _{v,h}{e}^{-E(v,h)}$$ 是配分函数，用于保证所有可能状态的概率之和为 1。

可见层状态 $v$ 的边缘概率为：
$$P(v)=\sum _{h}P(v,h)$$

4.3 训练目标

训练受限玻尔兹曼机的目标是最大化训练数据的对数似然函数 $$L=\sum _{i=1}^N\ln P(v^{(i)})$$ 其中 $N$ 是训练样本的数量， $v^{(i)}$ 是第 $i$ 个训练样本。通过调整模型的参数（权重 $W$ 、可见层偏置 $b$ 和隐藏层偏置 $c$ ），使得模型能够更好地拟合训练数据的分布。

五、对比散度算法

5.1 原理

由于精确计算对数似然函数的梯度涉及到对所有可能的可见层和隐藏层状态组合进行求和，计算量巨大且难以实现。对比散度算法通过一种近似的方法来估计梯度，避免了精确计算配分函数。它利用训练数据和模型重构数据之间的差异来更新参数，使得模型能够更快地学习到数据的分布特征。

5.2 步骤（以 CD - 1 为例）

正相阶段

1. 将训练样本 $v^{(0)}$ 输入到可见层。
2. 计算隐藏层每个节点 $j$ 的激活概率 $P(h_j=1|v^{(0)})$ ：
   $$P(h_j=1|v^{(0)})=\sigma \left(c_j+\sum _i{W}_{ij}{v}_i^{(0)}\right)$$
   其中， $\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ 是 sigmoid 函数。
3. 根据激活概率对隐藏层节点进行采样，得到隐藏层状态 $h^{(0)}$ 。

负相阶段

1. 以 $h^{(0)}$ 为输入，计算可见层每个节点 $i$ 的激活概率 $P(v_i=1|h^{(0)})$ ：
   $$P(v_i=1|h^{(0)})=\sigma \left(b_i+\sum _j{W}_{ij}{h}_j^{(0)}\right)$$
2. 根据激活概率对可见层节点进行采样，得到重构的可见层状态 $v^{(1)}$ 。
3. 以 $v^{(1)}$ 为输入，重复正相阶段的步骤 2 和 3，得到新的隐藏层状态 $h^{(1)}$ 。

参数更新阶段

1. 权重更新：
   $$\Delta W_{ij}=ϵ\left(⟨v_i{h}_j{⟩}_{data}-⟨v_i{h}_j{⟩}_{recon}\right)$$
2. 可见层偏置更新：
   $$\Delta b_i=ϵ\left(⟨v_i{⟩}_{data}-⟨v_i{⟩}_{recon}\right)$$
3. 隐藏层偏置更新：
   $$\Delta c_j=ϵ\left(⟨h_j{⟩}_{data}-⟨h_j{⟩}_{recon}\right)$$
   其中， $ϵ$ 是学习率， $⟨\cdot {⟩}_{data}$ 表示基于训练数据的统计信息， $⟨\cdot {⟩}_{recon}$ 表示基于重构数据的统计信息。

六、受限玻尔兹曼机与神经网络的对比

6.1 原理对比

• 受限玻尔兹曼机：基于统计物理中的玻尔兹曼分布，通过能量函数来描述系统的状态，将学习问题转化为寻找使训练数据概率最大的参数。它强调数据的概率分布，试图学习数据的内在结构和模式。
• 传统神经网络：基于神经元的连接和信号传递，通过多层神经元的非线性变换来实现对输入数据的映射。它主要关注输入和输出之间的函数关系，通过不断调整权重来最小化预测值和真实值之间的误差。

6.2 训练方式对比

• 受限玻尔兹曼机：通常使用对比散度算法进行训练，该算法通过近似估计对数似然函数的梯度来更新参数。训练过程分为正相阶段和负相阶段，利用训练数据和重构数据的差异来调整模型。
• 传统神经网络：常用的训练方法是反向传播算法（Backpropagation）。该算法通过计算损失函数关于每个参数的梯度，然后使用梯度下降法等优化算法来更新参数。训练过程是基于有标签的数据，从输出层反向传播误差到输入层。

6.3 损失函数对比

• 受限玻尔兹曼机：训练目标是最大化训练数据的对数似然函数，因此没有传统意义上的损失函数。其优化过程是通过调整参数来提高数据的概率。
• 传统神经网络：根据不同的任务选择不同的损失函数，如在分类任务中常用交叉熵损失函数，在回归任务中常用均方误差损失函数。损失函数衡量了模型预测值和真实值之间的差异，训练的目标是最小化损失函数。

6.4 优缺点对比

• 受限玻尔兹曼机
  • 优点：能够进行无监督学习，不需要标签数据，可用于数据的特征提取和降维；具有生成能力，可以生成与训练数据相似的新样本；模型结构相对简单，计算效率较高。
  • 缺点：训练过程较为复杂，需要调整多个超参数；容易陷入局部最优解；对数据的分布假设较为严格，可能不适用于所有类型的数据。
• 传统神经网络
  • 优点：可以处理各种类型的任务，包括分类、回归、图像识别等；通过多层结构可以学习到复杂的非线性关系；有丰富的优化算法和工具支持。
  • 缺点：需要大量的有标签数据进行训练；模型容易过拟合，特别是在数据量较小时；训练时间较长，计算资源消耗大。

6.5 适用场景对比

• 受限玻尔兹曼机：适用于无监督学习任务，如数据的预处理、特征提取、异常检测等；在推荐系统中，可以用于学习用户和物品的潜在特征；在图像生成任务中，能够生成具有一定真实性的图像。
• 传统神经网络：在有监督学习任务中表现出色，如手写数字识别、图像分类、语音识别等；在需要对输入和输出进行精确映射的任务中，传统神经网络是更好的选择。

七、Python 代码实现

import numpy as npclass RBM:def __init__(self, num_visible, num_hidden, learning_rate=0.1):# 初始化权重和偏置self.num_visible = num_visibleself.num_hidden = num_hiddenself.learning_rate = learning_rate# 初始化权重，使用小的随机值self.weights = np.random.normal(0, 0.1, (num_visible, num_hidden))self.visible_bias = np.zeros(num_visible)self.hidden_bias = np.zeros(num_hidden)def sigmoid(self, x):# sigmoid 函数return 1 / (1 + np.exp(-x))def sample_hidden(self, visible):# 根据可见层状态采样隐藏层状态hidden_activations = np.dot(visible, self.weights) + self.hidden_biashidden_probs = self.sigmoid(hidden_activations)hidden_states = (np.random.rand(*hidden_probs.shape) < hidden_probs).astype(int)return hidden_probs, hidden_statesdef sample_visible(self, hidden):# 根据隐藏层状态采样可见层状态visible_activations = np.dot(hidden, self.weights.T) + self.visible_biasvisible_probs = self.sigmoid(visible_activations)visible_states = (np.random.rand(*visible_probs.shape) < visible_probs).astype(int)return visible_probs, visible_statesdef train(self, data, num_epochs=10, batch_size=10):num_samples = data.shape[0]num_batches = num_samples // batch_sizefor epoch in range(num_epochs):for batch in range(num_batches):batch_data = data[batch * batch_size:(batch + 1) * batch_size]# 正相阶段pos_hidden_probs, pos_hidden_states = self.sample_hidden(batch_data)pos_associations = np.dot(batch_data.T, pos_hidden_probs)# 负相阶段neg_visible_probs, neg_visible_states = self.sample_visible(pos_hidden_states)neg_hidden_probs, neg_hidden_states = self.sample_hidden(neg_visible_states)neg_associations = np.dot(neg_visible_states.T, neg_hidden_probs)# 参数更新self.weights += self.learning_rate * (pos_associations - neg_associations) / batch_sizeself.visible_bias += self.learning_rate * (np.mean(batch_data, axis=0) - np.mean(neg_visible_states, axis=0))self.hidden_bias += self.learning_rate * (np.mean(pos_hidden_probs, axis=0) - np.mean(neg_hidden_probs, axis=0))print(f'Epoch {epoch + 1}/{num_epochs} completed.')

代码解释

1. __init__ 方法：初始化受限玻尔兹曼机的参数，包括可见层节点数、隐藏层节点数、学习率、权重和偏置。权重使用小的随机值初始化，偏置初始化为 0。
2. sigmoid 方法：实现 sigmoid 函数，用于计算节点的激活概率。
3. sample_hidden 方法：根据可见层状态计算隐藏层节点的激活概率，并进行采样得到隐藏层状态。
4. sample_visible 方法：根据隐藏层状态计算可见层节点的激活概率，并进行采样得到可见层状态。
5. train 方法：实现对比散度算法的训练过程，包括正相阶段、负相阶段和参数更新阶段。在每个 epoch 中，将数据分成多个批次进行训练，并更新模型的参数。

八、手写数字识别示例

以下是使用上述实现的受限玻尔兹曼机进行手写数字识别的简单示例，使用 scikit-learn 库中的手写数字数据集：

from sklearn.datasets import load_digits
import matplotlib.pyplot as plt# 加载手写数字数据集
digits = load_digits()
data = digits.data
data = (data > 8).astype(int)  # 二值化数据# 创建 RBM 模型
num_visible = data.shape[1]
num_hidden = 50
rbm = RBM(num_visible, num_hidden, learning_rate=0.1)# 训练模型
rbm.train(data, num_epochs=20, batch_size=10)# 重构数据示例
sample = data[0].reshape(1, -1)
_, hidden_states = rbm.sample_hidden(sample)
reconstructed_probs, _ = rbm.sample_visible(hidden_states)# 可视化原始数据和重构数据
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(sample.reshape(8, 8), cmap='gray')
plt.title('Original Image')
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.imshow(reconstructed_probs.reshape(8, 8), cmap='gray')
plt.title('Reconstructed Image')
plt.show()

示例解释

1. 数据加载与预处理：使用scikit-learn库加载手写数字数据集，并将数据进行二值化处理。这一步将连续的像素值转换为二值形式，简化数据表示，同时突出图像中的关键信息，以便更好地适配受限玻尔兹曼机的训练。
2. 模型创建与训练：创建一个受限玻尔兹曼机模型，设置可见层节点数、隐藏层节点数和学习率，并进行训练。可见层节点数根据数据特征维度确定，隐藏层节点数则需根据经验或通过实验调整来选择合适的值，学习率决定了模型在训练过程中参数更新的步长。
3. 数据重构与可视化：选择一个样本数据，通过模型的隐藏层进行重构，并将原始数据和重构数据进行可视化展示。通过对比原始图像和重构图像，可以直观地评估模型对数据特征的学习和重构能力。如果重构图像与原始图像相似，说明模型有效地学习到了数据的特征；反之，则可能需要进一步调整模型参数或增加训练数据。

九、结论

受限玻尔兹曼机作为一种基于玻尔兹曼分布的生成式模型，通过对比散度算法有效地学习数据的概率分布和特征。其“受限”的结构设计简化了模型复杂度，使得训练和计算更加高效。与传统神经网络相比，受限玻尔兹曼机在无监督学习和数据生成方面具有独特的优势，能够在不需要标签数据的情况下进行特征提取和降维，还能生成新的样本数据。然而，它也存在训练复杂、易陷入局部最优以及对数据分布假设严格等局限性。

参考文献

[1] Hinton, G. E. (2010). A practical guide to training restricted Boltzmann machines. Neural Networks: Tricks of the Trade, 599 - 619.
[2] Bengio, Y., & LeCun, Y. (2007). Scaling learning algorithms towards AI. Large - scale kernel machines, 1 - 41.