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极大似然估计

几率、概率与似然

几率是指某个事件发生的可能性与不发生的可能性之比，即事件发生的几率和不发生的几率的比值。

概率是在特定条件下某事件发生的可能性，在结果没有产生前，根据条件去估算某个事件发生的概率，通常用一个0到1之间的数值表示。

似然的概念与概率相反，是根据已知的事件结果来推测该事件可能在什么条件下发生。我们都知道，抛出一枚质地均匀的硬币，人像和数字在上的概率分别为0.5，假设抛出一枚硬币1万次，其中8千次人像在上，2千次数字在上，那么可以判断该硬币的构造可能有问题，进而推测该硬币的一些参数。

设$\theta$为条件对应的参数，$x$表示事件发生的结果，在$\theta$条件下$x$发生的概率表示为$P(x|\theta )$，$P$是关于$x$的函数；似然则相反，表示为$L(\theta |x)$，即在已经结果$x$的条件下，$\theta$发生的概率，$L$是关于$\theta$的函数。

极大似然估计

极大似然估计是在已知观测数据的情况下，找到使这些数据出现的可能性最大的模型参数，即根据事件$x$的观察结果，推断$\theta$是多少的时候，结果$x$最有可能发生。

继续抛硬币实验，通过具体实验来得出$\theta$。仍然抛硬币10次，其中7次人像在上，3次数字在上

假设结果服从二项分布，那么有$$L(\theta )={\theta }^7(1-\theta {)}^3（有7次人像朝上，为7个\theta 相乘，其他的同理）$$

通过该图像发现，当$\theta$取值为0.7时，函数值达到最大值，说明在当前条件下，最可能发生7次人像在上，3次数字在上。

逻辑斯蒂回归

引入

小明的战队与对手比赛，但小明的战队比较慢热，刚开始找不到手感，与对手零十开，到了10分钟时，与对手一九开，到了游戏中期，手感上来了，与对手五五开，游戏后期达到九一开甚至十零开。

因为中期的比赛形势不确定，小明想知道在第26分钟的时候能和对面几几开呢？

计算过程

这里说的几几开是指赢下比赛和输掉比赛可能性的比值$$几几开(几率)=\frac{p}{1-p}$$

列出相关几率如下图

转为小数

当战队十分可能输给对手的时候，赢的几率接近于0，而当战队非常可能赢的时候，该几率更接近于$+\infty$。

这种对称轴不对称，不好分析问题，使用几率的对数来分析问题，将数据从正半轴映射到整条数据周轴上。
若以对数几率为y轴，时间为x轴，可以得到线性回归直线。

通过计算每个点到直线的距离差，然后做最小二乘的优化，可以得到一条最完美的直线来拟合这些数据。查询x轴上某一点，就可以得到当前时间赢下这场比赛的可能性。

问题是有许多点分布在$+\infty$与$-\infty$上，如何计算距离误差？
将该直线重新映射回概率空间，通过一系列计算，可以得到逻辑斯蒂函数。

代入$y=wx+b$，得出逻辑斯蒂回归的概率函数

因此，可以理解为：概率空间里的逻辑斯蒂回归就是对数几率空间里的线性回归。

在概率空间中，可以使用极大似然估计来得到最好的逻辑斯蒂曲线。

假设在时间$x$的条件下，赢下比赛（y=1）的几率为$p$，输掉比赛（y=0）的几率为$1-p$
注意：与前面的函数计算方法类似（$L(\theta )={\theta }^7(1-\theta {)}^3$）

由于一系列式子的乘积是不太容易优化的表达，取对数变成其加法形式

展开括号，整理，有

标黄的$log$部分是对数几率，概率空间里的逻辑斯蒂回归就是对数几率空间里的线性回归，将其替换成直线方程，$p_i$是逻辑斯蒂函数，代入，得出如下结果

继续优化得到最好的参数值

$argmax$函数：找出使函数取得最大值的自变量。假设教计算机识别图片是猫、狗还是兔子。计算机对一张图片会输出三个数字[0.2,0.7.0.1]，比如说 ，这三个数字分别代表这张图片是猫、狗、兔子的可能性。这里的函数就是计算可能性的那个规则。那 argmax 就是帮你找出哪个可能性最大。在这个例子中，最大的是0.7 ，对应的是狗，所以计算机就会认为这张图片是狗。

将时间代入，就可以得到相关的概率。