傅里叶变换（FT）与快速傅里叶变换（FFT）的区别

傅里叶变换（Fourier Transform, FT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）都是用于信号频域分析的工具，但它们在计算方式和效率上存在显著的区别。下面小编将详细说明傅里叶变换和快速傅里叶变换的定义、原理、差异以及它们在实际应用中的表现。

一、傅里叶变换（Fourier Transform, FT）

1. 定义

傅里叶变换是一种数学变换，能够将一个时间域的信号（即随时间变化的信号）转换为频率域，从而将信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。傅里叶变换用于分析信号的频率成分，帮助理解信号的频谱结构。

傅里叶变换的数学表达式为：

$X(f)=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$

其中：

$x(t)$ 是时间域的信号，

$X(f)$ 是频率域的信号（即频谱），

$f$ 是频率， $t$ 是时间，

$e^{-j2\pi ft}$ 表示复指数函数，其中 $j$ 是虚数单位。

2. 逆傅里叶变换

逆傅里叶变换可以将频率域的信号重新转换为时间域信号，公式如下：

$x(t)=\int_{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}df$

3. 计算复杂度

傅里叶变换是一种积分操作，对于离散信号的傅里叶变换（称为离散傅里叶变换，DFT），其计算复杂度为 $O(N^{2})$ ,即如果有 $N$ 个点的信号数据，计算傅里叶变换需要 $N^{2}$ 次操作。对于大数据量的信号，计算量会非常庞大。

二、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）

1. 定义

快速傅里叶变换（FFT）是一种计算离散傅里叶变换（DFT）的方法。它是傅里叶变换的一个高效算法，可以在较短的时间内对信号进行傅里叶变换。FFT 的核心思想是利用分而治之的策略，通过递归地分解 DFT，使得其计算复杂度大幅降低。

2. 计算公式

FFT 实际上并没有改变傅里叶变换的数学表达形式，计算结果与 DFT 是一样的。对于 $N$ 个点的离散信号，其离散傅里叶变换（DFT）的公式为：

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N},k=0,1,\cdots ,N-1$

其中：

$x[n]$ 是第 $n$ 个离散时间信号，

$X[k]$ 是第 $k$ 个频率分量的结果。

3. 计算复杂度

FFT 的关键优势在于其计算复杂度相比于 DFT 大大减少。DFT 的复杂度为 $O(N^{2})$ ，而 FFT 可以将其降低为 $O(NlogN)$ ，这使得 FFT 在大规模数据计算时效率非常高。

4. 分而治之的策略

FFT 基于将 $N$ 点的 DFT 分解为两部分（偶数项和奇数项），然后递归计算，直到信号被分解成可以直接计算的最小单元。这个过程通过重复分解的方式，极大地减少了计算步骤。

5. FFT 的限制

为了使 FFT 的计算效率最大化，输入信号的长度通常需要是 2 的幂次方（如 32、64、128 等）。如果信号长度不是 2 的幂次方，可以通过补零（zero-padding）的方式来调整数据长度。

三、傅里叶变换与快速傅里叶变换的主要区别

特性	傅里叶变换（FT）	快速傅里叶变换（FFT）
计算原理	积分运算（连续信号）或DFT（离散信号）	优化的DFT算法，采用分而治之策略
计算复杂度	$O(N^{2})$ ，计算量大	$O(NlogN)$ ，计算量小
数据要求	不需要特殊要求	最好是2的幂次方长度
计算时间	对于大数据量，计算时间长	对于大数据量，计算速度非常快
结果	与离散傅里叶变换一致	与离散傅里叶变换一致
应用场景	理论分析或小规模数据变换	实际大规模信号处理，如高频、图像

四、实际应用

1. 傅里叶变换（FT）的应用

傅里叶变换广泛用于信号的频率分析。通常用于连续信号的频谱分析，以及一些在连续域中需要对信号频率进行研究的场景，例如：

分析时间连续信号的频率成分；
研究物理系统中的波动和振动现象；
在数学上用于求解偏微分方程。

2. 快速傅里叶变换（FFT）的应用

FFT 是实际应用中更常用的算法，尤其适用于离散信号的大规模计算。在以下领域，FFT 是不可或缺的工具：

音频信号处理：用于音频信号的频谱分析、滤波、压缩等。
图像处理：用于图像的频域转换、滤波、压缩等。
通信系统：用于信号调制、解调、带宽分析等。
雷达与声纳：用于信号处理、频谱分析、目标检测等。

五、总结

傅里叶变换（FT） 是一种将时间域信号转化为频率域的数学工具，用于频率分析。它的计算复杂度较高，适合小规模数据或连续信号的理论分析。
快速傅里叶变换（FFT） 是傅里叶变换的高效算法，极大地提高了计算速度，特别适合大规模离散信号的频域分析。它被广泛应用于各种信号处理领域，尤其是音频、图像和通信系统中。

总的来说，FFT 是 DFT 的一种高效实现，它在实际应用中的计算性能优势使其成为现代信号处理的核心工具之一。