本文是交叉熵损失函数为代表的两层神经网络的反向传播量化求导计算公式中的一个公式，单独拿出来做一下解释说明。

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公式 8-19 计算的是损失函数 $L$ 对隐藏层偏置 $b_1$ 的梯度。这个步骤是反向传播算法中的关键部分，用来更新隐藏层偏置 $b_1$，从而优化模型。下面我将详细解释公式 8-19 的推导过程及其含义。

公式 8-19 的表达式

$$\frac{\partial L}{\partial b_1}=\frac{\partial L}{\partial a_2}\cdot \frac{\partial a_2}{\partial Z_2}\cdot \frac{\partial Z_2}{\partial a_1}\cdot \frac{\partial a_1}{\partial Z_1}\cdot \frac{\partial Z_1}{\partial b_1}=(a_2-y)w_2{\sigma }^{\prime }(Z_1)\text{\hspace{1em}(8-19)}$$

1. 符号解释

• $L$：损失函数，一般在分类任务中采用交叉熵损失。
• $b_1$：隐藏层的偏置项，它是加入到隐藏层神经元的输入上的一个常量。
• $Z_1$：隐藏层的加权和，即隐藏层的输入值，它是输入数据经过权重和偏置线性组合后的结果。
• $a_1$：隐藏层的激活值，是通过激活函数 $\sigma (Z_1)$ 计算得到的输出。
• $Z_2$：输出层的加权和，即输出层的输入值。
• $a_2$：输出层的激活值，即模型预测的结果（通过 sigmoid 或其他激活函数计算）。
• $w_2$：连接隐藏层和输出层的权重。
• $y$：真实标签，表示样本的实际类别。
• ${\sigma }^{\prime }(Z_1)$：隐藏层激活函数的导数，表示激活函数对输入 $Z_1$ 的变化率。

2. 推导过程：链式法则的应用

为了推导公式 8-19，我们应用链式法则，逐层计算损失函数 $L$ 对隐藏层偏置 $b_1$ 的导数。

第一步：损失函数对输出层激活值 $a_2$ 的导数 $\frac{\partial L}{\partial a_2}$

根据公式 8-13，损失函数对输出层激活值 $a_2$ 的导数为：
$$\frac{\partial L}{\partial a_2}=a_2-y$$

这是输出层的误差，表示模型的预测值 $a_2$ 和真实标签 $y$ 之间的差异。

第二步：输出层激活值 $a_2$ 对输出层加权和 $Z_2$ 的导数 $\frac{\partial a_2}{\partial Z_2}$

输出层的激活值 $a_2$ 是通过激活函数（如 sigmoid）从加权和 $Z_2$ 计算得到的。因此：
$$\frac{\partial a_2}{\partial Z_2}={\sigma }^{\prime }(Z_2)$$

其中，sigmoid 函数的导数为：
$${\sigma }^{\prime }(Z_2)=a_2(1-a_2)$$

第三步：输出层加权和 $Z_2$ 对隐藏层激活值 $a_1$ 的导数 $\frac{\partial Z_2}{\partial a_1}$

输出层的加权和 $Z_2$ 是通过隐藏层激活值 $a_1$ 和权重 $w_2$ 线性组合得到的，因此：
$$\frac{\partial Z_2}{\partial a_1}=w_2$$

这表示输出层的输入 $Z_2$ 对隐藏层激活值 $a_1$ 的变化率等于连接隐藏层和输出层的权重 $w_2$。

第四步：隐藏层激活值 $a_1$ 对隐藏层加权和 $Z_1$ 的导数 $\frac{\partial a_1}{\partial Z_1}$

隐藏层的激活值 $a_1$ 是通过激活函数 $\sigma (Z_1)$ 计算得到的，因此：
$$\frac{\partial a_1}{\partial Z_1}={\sigma }^{\prime }(Z_1)$$

这个导数表示隐藏层的激活函数对输入 $Z_1$ 的变化率。

第五步：隐藏层加权和 $Z_1$ 对偏置 $b_1$ 的导数 $\frac{\partial Z_1}{\partial b_1}$

隐藏层的加权和 $Z_1$ 是通过输入数据 $x$ 和权重 $w_1$ 线性组合后，再加上偏置 $b_1$ 得到的。由于偏置 $b_1$ 是直接加到 $Z_1$ 上的，因此：
$$\frac{\partial Z_1}{\partial b_1}=1$$

这意味着隐藏层的输入 $Z_1$ 对偏置 $b_1$ 的变化率为 1，因为偏置是直接加到输入中的，不受其他参数的影响。

3. 结合链式法则

现在我们可以将这些部分结合起来，得到损失函数 $L$ 对隐藏层偏置 $b_1$ 的导数：
$$\frac{\partial L}{\partial b_1}=\frac{\partial L}{\partial a_2}\cdot \frac{\partial a_2}{\partial Z_2}\cdot \frac{\partial Z_2}{\partial a_1}\cdot \frac{\partial a_1}{\partial Z_1}\cdot \frac{\partial Z_1}{\partial b_1}$$

将每一部分的结果代入：
$$\frac{\partial L}{\partial b_1}=(a_2-y)\cdot w_2\cdot {\sigma }^{\prime }(Z_1)\cdot 1$$

简化得到：
$$\frac{\partial L}{\partial b_1}=(a_2-y)w_2{\sigma }^{\prime }(Z_1)$$

这就是公式 8-19 的推导结果。

4. 公式的含义

公式 8-19 表示的是损失函数 $L$ 对隐藏层偏置 $b_1$ 的导数。这个梯度用于调整隐藏层的偏置 $b_1$，以最小化损失函数。具体来说：

• $a_2-y$：这是输出层的误差，表示模型的预测值 $a_2$ 与真实标签 $y$ 之间的差异。
• $w_2$：这是连接隐藏层和输出层的权重，反映了隐藏层对输出层的影响。
• ${\sigma }^{\prime }(Z_1)$：这是隐藏层激活函数对输入 $Z_1$ 的导数，表示激活函数对输入变化的敏感性。

5. 直观理解

从公式 8-19 可以看出，隐藏层偏置的更新受到以下因素的影响：

• 输出层的误差 $a_2-y$：输出层的误差直接决定了模型需要多大程度地更新参数。如果误差较大，意味着模型的预测不够准确，偏置 $b_1$ 需要大幅度更新；如果误差较小，偏置只需要微小调整。
• 输出层的权重 $w_2$：输出层的权重 $w_2$ 决定了隐藏层对输出层的影响程度。如果 $w_2$ 较大，则隐藏层的输出对最终结果的影响较大，偏置更新也会较大。
• 激活函数的导数 ${\sigma }^{\prime }(Z_1)$：激活函数的导数反映了隐藏层神经元的敏感度。如果激活函数的导数较大，说明隐藏层对输入的变化非常敏感，偏置需要较大的调整。

6. 在反向传播中的作用

公式 8-19 是反向传播中的一个关键步骤。反向传播的目标是通过损失函数对每个参数（如权重和偏置）的导数来更新这些参数，使得损失函数逐步减小。公式 8-19 计算了隐藏层偏置 $b_1$ 的梯度，这个梯度用于更新偏置，从而帮助模型更好地拟合数据。

7. 总结

公式 8-19 给出了损失函数对隐藏层偏置 $b_1$ 的梯度。这个梯度结合了输出层误差、输出层权重以及隐藏层激活函数的导数，是通过链式法则逐层传播计算得到的。通过这个梯度，反向传播算法能够逐步调整隐藏层的偏置 $b_1$，从而优化模型的预测性能。