全方差公式(Law of Total Variance),描述了如何通过条件期望和条件方差分解总体方差。该定理适用于任何随机变量 ( X ) 和条件随机变量 ( Y ),公式如下:
Var ( X ) = E [ Var ( X ∣ Y ) ] + Var ( E [ X ∣ Y ] ) \text{Var}(X) = \mathbb{E}[\text{Var}(X|Y)] + \text{Var}(\mathbb{E}[X|Y]) Var(X)=E[Var(X∣Y)]+Var(E[X∣Y])
解释:
- ( E [ Var ( X ∣ Y ) ] ( \mathbb{E}[\text{Var}(X|Y)] (E[Var(X∣Y)]) 是在给定 ( Y ( Y (Y) 的条件下, ( X ( X (X) 的方差的期望值;
- ( Var ( E [ X ∣ Y ] ) ( \text{Var}(\mathbb{E}[X|Y]) (Var(E[X∣Y])) 是 ( X ( X (X) 的条件期望值的方差。
这一公式反映了总方差可以拆解成两个部分:条件方差的期望 和 条件期望的方差。
在复合泊松过程的推导中,我们用这个定理分解 ( X ( t ) ( X(t) (X(t)) 的方差,因此可以写成:
Var [ X ( t ) ] = E [ Var [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] + Var [ E [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] . \text{Var}[X(t)] = \mathbb{E}[\text{Var}[X(t) | N(t)]] + \text{Var}[\mathbb{E}[X(t) | N(t)]]. Var[X(t)]=E[Var[X(t)∣N(t)]]+Var[E[X(t)∣N(t)]].
这就是全方差公式在复合泊松过程中的应用。
定义:
一个复合泊松过程 ( X(t) ) 可以表示为:
X ( t ) = ∑ i = 1 N ( t ) Y i X(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} Y_i X(t)=i=1∑N(t)Yi
其中:
- ( N ( t ) ( N(t) (N(t)) 是参数为 ( λ ( \lambda (λ) 的泊松过程,表示在时间 ( t ) 之前发生的事件个数;
- ( Y i ( Y_i (Yi) 是独立同分布的随机变量,表示每次事件对应的增量;
- ( Y i ( Y_i (Yi) 独立于 ( N(t) )。
方差推导:
我们要求 ( X ( t ) ( X(t) (X(t)) 的方差,记为 ( Var [ X ( t ) ] ( \text{Var}[X(t)] (Var[X(t)])。
-
条件期望和方差:
- 由于 ( X ( t ) ( X(t) (X(t)) 是一个随机和,我们首先应用条件期望和方差的性质:
Var [ X ( t ) ] = E [ Var [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] + Var [ E [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] . \text{Var}[X(t)] = \mathbb{E}[\text{Var}[X(t) | N(t)]] + \text{Var}[\mathbb{E}[X(t) | N(t)]]. Var[X(t)]=E[Var[X(t)∣N(t)]]+Var[E[X(t)∣N(t)]].
- 由于 ( X ( t ) ( X(t) (X(t)) 是一个随机和,我们首先应用条件期望和方差的性质:
-
条件下的期望和方差:
- 条件期望 ( E [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] = E [ ∑ i = 1 N ( t ) Y i ∣ N ( t ) ] = N ( t ) E [ Y ] ( \mathbb{E}[X(t) | N(t)] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i | N(t)\right] = N(t) \mathbb{E}[Y] (E[X(t)∣N(t)]=E[∑i=1N(t)Yi∣N(t)]=N(t)E[Y]);
- 条件方差 ( Var [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] = Var ( ∑ i = 1 N ( t ) Y i ∣ N ( t ) ) = N ( t ) Var [ Y ] ( \text{Var}[X(t) | N(t)] = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^{N(t)} Y_i | N(t)\right) = N(t) \text{Var}[Y] (Var[X(t)∣N(t)]=Var(∑i=1N(t)Yi∣N(t))=N(t)Var[Y]),因为 ( Y i ( Y_i (Yi) 之间相互独立同分布。
-
计算方差:
- 先计算 ( E [ Var [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] ( \mathbb{E}[\text{Var}[X(t) | N(t)]] (E[Var[X(t)∣N(t)]]):
E [ Var [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] = E [ N ( t ) Var [ Y ] ] = λ t Var [ Y ] . \mathbb{E}[\text{Var}[X(t) | N(t)]] = \mathbb{E}[N(t) \text{Var}[Y]] = \lambda t \text{Var}[Y]. E[Var[X(t)∣N(t)]]=E[N(t)Var[Y]]=λtVar[Y]. - 再计算 ( Var [ E [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] ( \text{Var}[\mathbb{E}[X(t) | N(t)]] (Var[E[X(t)∣N(t)]]):
Var [ E [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] = Var [ N ( t ) E [ Y ] ] = Var [ N ( t ) ] ( E [ Y ] ) 2 = λ t ( E [ Y ] ) 2 . \text{Var}[\mathbb{E}[X(t) | N(t)]] = \text{Var}[N(t) \mathbb{E}[Y]] = \text{Var}[N(t)] (\mathbb{E}[Y])^2 = \lambda t (\mathbb{E}[Y])^2. Var[E[X(t)∣N(t)]]=Var[N(t)E[Y]]=Var[N(t)](E[Y])2=λt(E[Y])2.
- 先计算 ( E [ Var [ X ( t ) ∣ N ( t ) ] ] ( \mathbb{E}[\text{Var}[X(t) | N(t)]] (E[Var[X(t)∣N(t)]]):
-
总方差:
将两部分相加,得到复合泊松过程的方差:
Var [ X ( t ) ] = λ t Var [ Y ] + λ t ( E [ Y ] ) 2 = λ t ( Var [ Y ] + ( E [ Y ] ) 2 ) . \text{Var}[X(t)] = \lambda t \text{Var}[Y] + \lambda t (\mathbb{E}[Y])^2 = \lambda t (\text{Var}[Y] + (\mathbb{E}[Y])^2). Var[X(t)]=λtVar[Y]+λt(E[Y])2=λt(Var[Y]+(E[Y])2).
因此,复合泊松过程的方差为:
Var [ X ( t ) ] = λ t E [ Y 2 ] . \text{Var}[X(t)] = \lambda t \mathbb{E}[Y^2]. Var[X(t)]=λtE[Y2].
这个结果表明,复合泊松过程的方差随着时间 ( t ) 线性增长,增长率与泊松过程的强度 ( λ ( \lambda (λ) 和增量随机变量 ( Y ( Y (Y) 的二阶矩 ( E [ Y 2 ] ( \mathbb{E}[Y^2] (E[Y2]) 成正比。