文章目录
- 一. 重要定理
- 1. 代数余子式
- 2. 主要公式
- 3. 方阵的行列式
- 4. 克拉默法则
- 三. 典型例题
- 1. 行列式计算
- 1.1. 数字型行列式
- 题型一:代数余子式降阶、拉普拉斯
- 题型二:逐行消元,化为上三角式
- 1.2.抽象行列式(考察行列式的性质)
- 题型一. |A+B| 型的计算
- 题型二. 使用特征值,使用相似
- 题型三. 矩阵运算
- 2. 行列式的应用
- 2.1. 特征多项式
- 2.2. 克拉默法则
- 2.3. 矩阵秩的概念
- 3. 关于|A|=0的判断
- 4. 代数余子式之和
一. 重要定理
1. 代数余子式
代数余子式之和
代数余子式怎么求:
不同行同列的代数余子式=0
2. 主要公式
主对角线行列式 | |
副对角线行列式 | |
拉普拉斯展开式 | |
范德蒙 | |
3. 方阵的行列式
4. 克拉默法则
三. 典型例题
1. 行列式计算
1.1. 数字型行列式
题型一:代数余子式降阶、拉普拉斯
- 通过代数余子式降阶求行列式
代数余子式降阶
代数余子式降阶+对角线公式。
拉普拉斯:
先换行在换列,然后再使用拉普拉斯
消元、代数余子式、局部下三角。
简化逻辑:消元。
(看到局部行列式)逐行相加消元。
去除一边的爪。
题型二:逐行消元,化为上三角式
逐行(上一行的结果用于下一行)消元,变成三角式行列式。
逐行消元,化为上三角式。
代数余子式化简,然后观察x三次方的系数。
1.2.抽象行列式(考察行列式的性质)
题型一. |A+B| 型的计算
利用行列式的性质:提行列式系数、行列式拆开
题型二. 使用特征值,使用相似
题型三. 矩阵运算
2. 行列式的应用
2.1. 特征多项式
凑因式是求解本题型最佳方式。
简化成上三角,进而凑因式。
找公因式是做题思路
2.2. 克拉默法则
直接公式。
化成齐次方程组、非零矩阵=>非零解,A不是满秩。
2.3. 矩阵秩的概念
3. 关于|A|=0的判断
4. 代数余子式之和
- 同行不同列,两个不同的列,代数余子式相乘=0。
- 因为代数余子式与第三行无关,所以重新构建第三行。
方法1:直接求各个元素的代数余子式
方法2:分块矩阵求逆
求逆:初等变换法求逆[A:E]+分块求逆的公式。