1. 复杂度计算

复杂度计算用于评估算法的效率，通常关注两个方面：时间复杂度和空间复杂度。

1.1 时间复杂度

时间复杂度衡量算法运行所需的时间，通常用大 O 表示法来表示：

• O(1)：常数时间，算法执行时间不随输入规模的变化而变化。
• O(log n)：对数时间，执行时间随输入规模的对数增长，例如二分查找。
• O(n)：线性时间，执行时间与输入规模成正比，例如线性搜索。
• O(n log n)：线性对数时间，通常见于高效排序算法，如快速排序。
• O(n^2)：平方时间，执行时间与输入规模的平方成正比，例如冒泡排序。
• O(2^n)：指数时间，执行时间随输入规模指数增长，例如某些递归算法。
• O(n!)：阶乘时间，执行时间随输入规模阶乘增长，例如某些组合问题的算法。

1.2 空间复杂度

空间复杂度衡量算法运行时所需的内存，通常也用大 O 表示法：

• O(1)：常数空间，所需内存与输入规模无关。
• O(n)：线性空间，所需内存与输入规模成正比，例如存储输入数据的数组。
• O(n^2)：平方空间，所需内存与输入规模的平方成正比，例如二维矩阵。

1.3 如何计算

1. 确定基本操作：找出算法中最频繁执行的操作。
2. 分析循环结构：嵌套循环通常会增加复杂度的阶数。
3. 简化表达式：忽略低阶项和常数系数，专注于主要增长趋势。

示例：
假设有一个简单的算法：

for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {// 常数时间操作}
}

这个算法的时间复杂度是 O(n^2)，因为有两个嵌套的循环，每个循环都运行 n 次。

2. 常见线性结构

2.1 顺序表 和 链表

2.1.1 顺序表 (Array List)

• 原理：使用连续内存空间，支持通过索引直接访问。
• 优点：随机访问速度快 (O(1))。
• 缺点：插入和删除操作较慢 (O(n))，可能需要数组扩展或缩减。

操作：

• 查找：O(1)
• 插入：O(n)
• 删除：O(n)
• 修改：O(1)

2.1.2 链表 (Linked List)

• 原理：节点不连续存储，通过指针链接。
• 优点：插入和删除操作快 (O(1))，动态大小。
• 缺点：随机访问较慢 (O(n))，额外空间用于指针。

操作：

• 查找：O(n)
• 插入：O(1)（已知位置），O(n)（查找位置）
• 删除：O(1)（已知位置），O(n)（查找位置）
• 修改：O(n)（查找位置）

2.2 栈 和 队列

2.2.1 什么是栈？什么是队列？关系是什么？

栈 (Stack)

• 定义：遵循“后进先出”（LIFO）原则。最后插入的元素最先被取出。
• 主要操作：入栈、出栈、查看栈顶、判断空栈。
• 应用：函数调用、浏览器历史记录。

队列 (Queue)

• 定义：遵循“先进先出”（FIFO）原则。最早插入的元素最先被取出。
• 主要操作：入队、出队、查看队头、判断空队列。
• 应用：任务调度、数据缓冲。

关系

• 操作方式：栈在一端操作（栈顶），队列在两端操作（队头和队尾）。
• 实现：栈和队列可以通过数组或链表实现，但操作规则不同。

2.2.2 如何实现？数组链表原生实现？适配器？

栈 的实现：

• 数组实现：

• 入栈：添加到数组末尾。
• 出栈：从数组末尾移除元素。
• 查看栈顶：访问数组末尾元素。

• 链表实现：

• 入栈：在链表头部插入元素。
• 出栈：从链表头部移除元素。
• 查看栈顶：访问链表头部元素。

队列 的实现：

• 数组实现：

• 入队：添加到数组末尾。
• 出队：从数组开头移除元素。
• 循环数组：使用环形缓冲区优化性能。

• 链表实现：

• 入队：在链表尾部插入元素。
• 出队：从链表头部移除元素。
• 查看队头：访问链表头部元素。

适配器实现

• 栈基于队列：

• 单队列：通过旋转队列模拟栈。
• 双队列：使用两个队列交替操作。

• 队列基于栈：

• 双栈：使用两个栈交替操作实现队列。

3. 常见非线性结构

3.1 二叉树

3.2 堆

3.2.1 性质和概念

堆是一种完全二叉树数据结构，分为最大堆和最小堆：

• 最大堆：每个节点的值大于或等于其子节点的值，根节点是最大值。
• 最小堆：每个节点的值小于或等于其子节点的值，根节点是最小值。

3.2.2 实现

数组表示：

• 左子节点索引：2i
• 右子节点索引：2i + 1
• 父节点索引：i / 2

操作：

• 插入：将新元素添加到末尾，然后上浮调整。
• 删除：删除根节点（最大或最小值），用末尾元素替换，然后下沉调整。
• 堆化：将数组调整为堆。

3.2.3 topk

Top-K 问题：

• 使用最小堆保持k个最大元素，时间复杂度O(nlogk)

3.2.4 堆排序

堆排序：

• 构建最大堆。
• 排序：将根节点（最大值）与最后一个元素交换，调整堆。
• 时间复杂度：O(n log n)，空间复杂度：O(1)。

3.3 二叉树常见问题

3.4 搜索树

搜索树是一种用于存储有序数据并支持高效查找、插入和删除操作的数据结构。主要包括二叉搜索树（BST）、AVL树和红黑树。

3.4.1 概念性质

• 二叉搜索树（BST）：

• 性质：对于每个节点，其左子树包含所有小于该节点的值，右子树包含所有大于该节点的值。
• 查找：平均时间复杂度 O(log n)，最坏情况 O(n)（如链表）。

3.4.2 增删查改

• 查找：从根节点开始，根据键值向左或右子树递归查找。
• 插入：插入新节点后，维护 BST 的性质。
• 删除：删除节点后，可能需要重构树以保持 BST 的性质。三种情况：

1. 删除叶节点。
2. 删除只有一个子节点的节点。
3. 删除有两个子节点的节点（用右子树的最小值或左子树的最大值替换）。

3.4.3 缺陷

• 缺陷：BST 在最坏情况下退化为链表，导致操作效率降低。

3.4.4 缺陷解决方案：平衡树

平衡树通过自平衡机制保持树的高度尽可能低，保证操作效率。主要包括 AVL 树和红黑树。

• AVL树：

• 性质：每个节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子）至多为 1。
• 效率：查找、插入、删除操作的时间复杂度均为 O(log n)。
• 实现逻辑：

• 旋转操作：单旋转（左旋、右旋）和双旋转（左-右旋、右-左旋），用于恢复平衡。
• 插入：插入后进行旋转调整。
• 删除：删除后进行旋转调整以恢复平衡。

• 红黑树：

• 性质：每个节点是红色或黑色，满足以下条件：

1. 根节点是黑色。
2. 个叶子节点（NIL）是黑色。
3. 如果一个节点是红色，则它的两个子节点都是黑色。
4. 从每个节点到其每个叶子节点的路径包含相同数量的黑色节点。

• 效率：查找、插入、删除操作的时间复杂度均为 O(log n)。
• 实现逻辑：

• 旋转操作：类似 AVL 树。
• 颜色调整：插入或删除后调整节点颜色和进行旋转以维护红黑树性质。

• AVL树 与 红黑树 的区别：

• 平衡性：

• AVL 树：更严格的平衡，确保树高度差不超过 1，查找操作更快，但插入和删除需要更多的旋转操作。
• 红黑树：较宽松的平衡，允许更多的高度差，插入和删除操作相对较快，但查找操作可能稍慢。

• 实现复杂性：

• AVL 树：旋转操作较多，复杂度高。
• 红黑树：相对较少的旋转操作和颜色调整，易于实现。

• 应用场景：

• AVL 树：适用于查找频繁的场景。
• 红黑树：适用于插入和删除操作频繁的场景，如 C++ STL 的 map 和 set 使用红黑树。

3.5 哈希

3.5.1 什么是哈希？

哈希是一种将数据映射到固定大小的值（哈希值）的过程，用于快速查找和存储数据。

3.5.2 如何解决哈希冲突

闭散列（开放地址法）是处理哈希冲突的一种方法。主要有线性探测和二次探测两种方式：

• 线性探测（Linear Probing）

• 方法：发生冲突时，顺序查找下一个位置。
• 缺陷：

• 主聚集：连续的被占用区域，导致性能下降。
• 性能退化：表满时，查找和插入效率降低。

• 二次探测（Quadratic Probing）

• 方法：冲突后，使用二次方程计算下一个位置。
• 缺陷：

• 二次聚集：探测序列可能会形成聚集。
• 表大小要求：通常要求表大小为质数，增加实现复杂性。

• 总结：线性探测简单但易聚集，二次探测减少了聚集但复杂度更高。选择适当方法需根据实际需求。

开散列（拉链法）是一种解决哈希表冲突的方法，通过在每个哈希槽上维护一个链表来存储冲突的元素。它的优点包括：

1. 简单易实现：链表操作简单，易于处理动态增长的元素。
2. 性能稳定：负载因子增加时，性能相对稳定。
3. 灵活的内存使用：链表可以动态增长，无需重新分配整个哈希表。
4. 删除操作简单：删除元素只需从链表中移除即可。

应对冲突严重的方法：

1. 优化哈希函数：设计良好的哈希函数以减少冲突。
2. 调整表的大小：通过扩展哈希表和重新哈希减少链表长度。
3. 使用其他数据结构：长链表可用平衡树替代，以提高效率。
4. 合理设置负载因子：动态调整负载因子，定期扩展哈希表。
5. 监控性能：定期检查哈希表性能，以便进行优化。

3.5.3 位图

位图是一种用于高效存储和快速查询的二进制数据结构，主要用于表示集合中的元素是否存在。以下是位图的主要特点：

1. 存储方式：位图使用一个数组，每个元素用一个比特位表示。如果元素存在，则对应的位设置为1，不存在则设置为0。
2. 直接定址：元素的值直接作为数组索引，通过该索引访问或修改对应的位，因此没有哈希冲突。
3. 节省空间：位图每个元素只用一个比特位，相比其他数据结构（如整型数组），能够显著减少内存使用，尤其适合处理大量数据的存在性检测。
4. 查询效率高：由于位图的查询和更新操作都可以在常数时间内完成，适合需要快速判断元素是否存在的场景。

总结：位图是一种高效的空间利用和查询的数据结构，用于表示和操作大量元素的存在性。

3.5.4 布隆过滤器

布隆过滤器是一种高效的空间优化数据结构，用于判断一个元素是否在一个集合中。其特点包括：

1. 空间节省：使用多个哈希函数和一个位图来表示集合，显著减少存储需求，适合处理大规模数据。
2. 误判：布隆过滤器可以准确地确定元素不在集合中，但不能100%保证元素在集合中，可能存在误判（即误报），因为不同的元素可能会映射到相同的位。
3. 操作效率：元素的加入和查询操作都很快，时间复杂度为常数时间 O(k)，其中 k 是哈希函数的数量。
4. 删除问题：布隆过滤器无法直接删除元素，因为其位图中的位可能被多个元素共享，解决方案包括使用计数型布隆过滤器或周期性重新生成过滤器。

总结：布隆过滤器通过使用多个哈希函数和位图，能够高效地存储和查询大规模数据，但存在一定的误判概率。

3.5.5 海量数据处理的问题

在海量数据处理问题中，以下三种技术可以有效解决数据存储和查询问题：

1. 位图：

• 解决方法：使用一个大位数组（或位图）来记录数据的存在性，每一位表示一个数据项的状态（存在或不存在）。适用于数据范- 围较小且可以用位表示的场景。
• 优点：查询效率高，适合存储和处理布尔值数据。
• 缺点：对于范围非常大的数据（例如大范围的整数），位图可能占用过多内存。

2. 布隆过滤器：

• 解决方法：使用多个哈希函数和一个位图来高效地检测某个元素是否在集合中。适用于需要处理大量数据的情况。
• 优点：节省存储空间，查询速度快。
• 缺点：可能产生误判（误报），不能直接删除元素。

3. 哈希切分（Hash Partitioning）：

• 解决方法：通过哈希函数将数据分散到多个存储分区中，以便更均匀地分配存储负载和提高并行处理能力。
• 优点：能处理超大规模数据，通过分区管理避免单个节点的负载过重。
• 缺点：需要设计合理的哈希函数和分区策略，以避免数据倾斜和负载不均。

这些技术可以根据具体的数据处理需求和应用场景，单独或组合使用，以优化数据存储和查询性能。

4. 算法

4.1 排序

1. 冒泡排序（Bubble Sort）：

• 实现：重复遍历待排序列，比较相邻元素并交换，使得较大的元素逐渐“冒泡”到末尾。
• 复杂度：最坏和平均情况 O(n²)，最佳情况 O(n)（当已排序时）。
• 稳定性：稳定。
• 适用场景：数据量较小或对稳定性有高要求时使用。

2. 选择排序（Selection Sort）：

• 实现：每次选择未排序部分的最小（或最大）元素，将其放到已排序部分的末尾。
• 复杂度：O(n²)。
• 稳定性：不稳定。
• 适用场景：对内存占用有严格要求且数据量小的情况。

3. 插入排序（Insertion Sort）：

• 实现：将待排序元素插入到已排序部分的适当位置，像手工排序扑克牌一样。
• 复杂度：最坏和平均情况 O(n²)，最佳情况 O(n)（当已排序时）。
• 稳定性：稳定。
• 适用场景：数据量较小或部分已排序时使用。

4. 归并排序（Merge Sort）：

• 实现：将数据分割成更小的部分，递归地排序这些部分，然后合并已排序的部分。
• 复杂度：O(n log n)。
• 稳定性：稳定。
• 适用场景：大数据量，且需要稳定排序时。

5. 快速排序（Quick Sort）：

• 实现：选择一个“基准”元素，将数据分为两个部分，递归地对这两部分进行排序。
• 复杂度：平均情况 O(n log n)，最坏情况 O(n²)（例如基准选择不当）。
• 稳定性：不稳定。
• 适用场景：大数据量时，快速排序通常表现优越。

6. 堆排序（Heap Sort）：

• 实现：将数据构建成一个堆，每次取出堆顶元素，并重建堆。
• 复杂度：O(n log n)。
• 稳定性：不稳定。
• 适用场景：需要优良时间复杂度且不要求稳定性时。

7. 计数排序（Counting Sort）：

• 实现：统计每个元素的出现次数，然后按顺序重建排序后的数据。
• 复杂度：O(n + k)，其中 k 是元素范围。
• 稳定性：稳定。
• 适用场景：元素范围有限且数据量大的情况。

8. 基数排序（Radix Sort）：

• 实现：按每一位的值进行多轮排序（通常结合计数排序作为稳定的子排序）。
• 复杂度：O(nk)，其中 k 是位数。
• 稳定性：稳定。
• 适用场景：处理整数数据，尤其是位数较少时效果良好。

9. 希尔排序（Shell Sort）：

• 实现：通过多轮插入排序，逐步减少间隔（增量），最终进行标准插入排序。
• 复杂度：最坏情况 O(n²)，增量序列优化后可达 O(n log n)。
• 稳定性：不稳定。
• 适用场景：中等规模的数据集，内存有限时。

4.2 二分查找

二分查找是一种高效的查找算法，适用于已排序的数组。其基本思路是将数组分成两半，通过比较中间元素与目标值，决定继续在哪一半进行查找。算法步骤如下：

1. 初始化：设定两个指针，left 指向数组起始位置，right 指向数组末尾位置。
2. 循环：计算中间位置 mid，比较 mid 位置的元素与目标值。

• 如果相等，返回 mid 位置。
• 如果目标值小于 mid 位置的元素，将 right 指向 mid - 1。
• 如果目标值大于 mid 位置的元素，将 left 指向 mid + 1。

3. 结束：当 left 超过 right 时，查找结束，如果未找到目标值，返回 -1 或表示未找到的标识。

时间复杂度：O(log n)，空间复杂度：O(1)。