1. 线性方程组的解法
1.2 矩阵的初等行变换
- 解线性方程组的增广矩阵解法有3种变换：
（1）把一行的倍数加到另一行；
（2）两行互换；
（3）一行乘一个非零数。
相应的对于方程组也是类似的，行对应的是方程，这就叫线性方程组的初等变换。 - 线性方程组进行初等变换后的新方程组与原来的方程组的解的集合应该是相等的，即新方程组与原来的方程组同解。
- 矩阵的初等行变换得到的方程组与原来的方程组是同解的。
上一篇文字中最后得到的线性方程组的解是唯一解，把 x 1 = 3 , x 2 = − 1 , x 3 = 2 x_{1}=3,x_{2}=-1,x_{3}=2 x1=3,x2=−1,x3=2写成 ( 3 , − 1 , 2 ) (3,-1,2) (3,−1,2)表示方程组的解，将解用有序数组来表示。
1.3 解线性方程组和解的情况
解线性方程组方法：
（1）消元法；
（2）增广矩阵消元法（方便计算机计算）；
【例2】在有理数集内解线性方程组
（1） { x 1 − x 2 + x 3 = 1 x 1 − x 2 − x 3 = 3 2 x 1 − 2 x 2 − x 3 = 3 \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}=3 \\ 2x_{1}-2x_{2}-x_{3}=3 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=3
【解】写出方程组的增广矩阵并做初等变换：
( 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 3 2 − 2 − 1 3 ) ⟶ ( 1 − 1 1 1 0 0 − 2 2 0 0 − 3 1 ) ⟶ ( 1 − 1 1 1 0 0 1 − 1 0 0 − 3 1 ) ⟶ ( 1 − 1 1 1 0 0 1 − 1 0 0 0 − 2 ) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 3\\ 2 & -2 & -1 &3 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 &1 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -3 &1 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 &-2 \end{pmatrix} 112−1−1−21−1−1133 ⟶ 100−1001−2−3121 ⟶ 100−10011−31−11 ⟶ 100−1001101−1−2
最后得到阶梯形方程组为：
{ x 1 − x 2 + x 3 = 1 x 3 = − 1 0 = − 2 \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{3}=-1 \\ 0=-2 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1−x2+x3=1x3=−10=−2
因为第三个方程无解，由于初等变换后的方程组与原来方程组是同解的，从而原方程组无解。
（2） { x 1 − x 2 + x 3 = 1 x 1 − x 2 − x 3 = 3 2 x 1 − 2 x 2 − x 3 = 5 \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}=3 \\ 2x_{1}-2x_{2}-x_{3}=5 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=5
【解】写出方程组的增广矩阵并做初等变换： ( 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 3 2 − 2 − 1 5 ) ⟶ ( 1 − 1 1 1 0 0 − 2 2 0 0 − 3 3 ) ⟶ ( 1 − 1 1 1 0 0 1 − 1 0 0 − 3 3 ) ⟶ ( 1 − 1 1 1 0 0 1 − 1 0 0 0 0 ) ⟶ ( 1 − 1 0 2 0 0 1 − 1 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 3\\ 2 & -2 & -1 &5 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 &3 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -3 &3 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix} 112−1−1−21−1−1135 ⟶ 100−1001−2−3123 ⟶ 100−10011−31−13 ⟶ 100−1001101−10 ⟶ 100−1000102−10
阶梯形方程组为
{ x 1 − x 2 = 2 x 3 = − 1 0 = 0 \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}=2 \\ x_{3}=-1 \\ 0=0 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1−x2=2x3=−10=0
x 2 x_{2} x2可以取无穷多个有理数
所以阶梯形方程组有无穷多个解，从而原方程组有无穷多个解。
