【代码随想录训练营第42期 Day59打卡 - 图论Part9

一、Bellman-Ford算法

定义

特性

伪代码实现

二、经典题目

题目：卡码网 94. 城市间货物运输 I

题目链接

题解： Bellman-Ford算法

三、小结

一、Bellman-Ford算法

定义

Bellman-Ford算法是一个迭代算法，它可以处理包含负权边的图，并能够检测负权重环。算法的基本思想是通过对所有边进行多次“松弛”操作来逐步逼近最短路径。

特性

Bellman - Ford算法可以处理带有负权边的图。

它能够检测图中的负权重环。

如果图中存在负权重环，则算法无法计算出最短路径，因为负权重环可以使路径长度无限减小。

算法的最坏情况时间复杂度为 O(VE)，其中 V 是顶点数，E 是边数。

伪代码实现

function Bellman-Ford(graph, source):// graph 是一个包含边信息的列表，每条边是一个三元组 (u, v, w)，表示从节点 u 到节点 v 的权值为 w// source 是源节点的索引// 初始化距离数组，所有节点的距离设置为无穷大，除了源节点设置为 0distance[] = [∞ for i in 0 to graph.numberOfVertices]distance[source] = 0// 松弛操作，进行 V-1 次，其中 V 是图中的节点数for i in 1 to graph.numberOfVertices - 1:for each edge (u, v, w) in graph.edges:// 如果从源节点到 u 的距离已知且从 u 到 v 的距离可以更短if distance[u] + w < distance[v]:distance[v] = distance[u] + w// 检测图中是否存在负权重环for each edge (u, v, w) in graph.edges:if distance[u] + w < distance[v]:return "Graph contains a negative-weight cycle"// 返回距离数组，包含从源节点到所有其他节点的最短路径长度return distance

二、经典题目

题目：卡码网 94. 城市间货物运输 I

题目链接

94. 城市间货物运输 I (kamacoder.com)

题目描述

某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。

网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。

请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。如果最低运输成本是一个负数，它表示在遵循最优路径的情况下，运输过程中反而能够实现盈利。

城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。

输入描述

第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。

接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v （单向图）。

输出描述

如果能够从城市 1 到连通到城市 n，请输出一个整数，表示运输成本。如果该整数是负数，则表示实现了盈利。如果从城市 1 没有路径可达城市 n，请输出 "unconnected"。

输入示例
6 7
5 6 -2
1 2 1
5 3 1
2 5 2
2 4 -3
4 6 4
1 3 5
输出示例
1
提示信息

示例中最佳路径是从 1 -> 2 -> 5 -> 6，路上的权值分别为 1 2 -2，最终的最低运输成本为 1 + 2 + (-2) = 1。

示例 2：

4 2
1 2 -1
3 4 -1

在此示例中，无法找到一条路径从 1 通往 4，所以此时应该输出 "unconnected"。

数据范围：

1 <= n <= 1000；
1 <= m <= 10000;

-100 <= v <= 100;

题解： Bellman-Ford算法

关键在于松弛操作：

松弛操作：

这是算法的核心。对于图中的每一条边，如果可以通过这条边使得到达某个顶点的距离更短，则更新这个顶点的最短距离。这个过程会重复进行，直到无法再通过任何边来进一步缩短任何顶点的最短距离。

具体步骤：对于每一条边(u, v)，如果 dist[u] + weight(u, v) < dist[v]，则更新 dist[v] = dist[u] + weight(u, v)。这里 dist[u] 是起点到顶点 u 的当前最短距离，weight(u, v) 是边(u, v) 的权重。

代码实现：

// Bellman-Ford算法#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n, m, p1, p2, val;cin >> n >> m;vector<vector<int>> grid; // 存储边for (int i = 0; i < m; i++) // 将所有边保存起来{cin >> p1 >> p2 >> val;grid.push_back({p1, p2, val}); // p1 指向 p2，权值为 val}int start = 1; // 起点int end = n;   // 终点vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX); // 初始化最短路径数组，所有节点的最短距离设置为INT_MAX，表示无穷大minDist[start] = 0;// Bellman-Ford算法的关键：对所有边进行n-1次松弛操作for (int i = 1; i < n; i++){for (vector<int> &side : grid) // 每一次松弛，都是对所有边进行松弛{int from = side[0];  // 边的出发点int to = side[1];    // 边的到达点int price = side[2]; // 边的权值// 松弛操作// minDist[from] != INT_MAX 防止从未计算过的节点出发if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price){minDist[to] = minDist[from] + price;}}}if (minDist[end] == INT_MAX) // 不能到达终点cout << "unconnected" << endl;elsecout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}