二分查找（Binary Search）是一种在有序数组或有序区间中查找特定元素的高效算法。其基本思想是每次都通过与区间的中间元素比较，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到目标值或区间被缩小为零。以下是二分查找的基本步骤：

1. 初始化：确定待查找的有序数组或区间，设其起始索引为low，终止索引为high。

2. 计算中间索引：将区间[low, high]的中间索引mid设为 (low + high) // 2。

3. 比较中间元素与目标值：

   • 如果中间元素等于目标值，查找结束，返回mid。
   • 如果中间元素小于目标值，说明目标值可能在中间元素的右侧，将查找区间缩小为[mid + 1, high]。
   • 如果中间元素大于目标值，说明目标值可能在中间元素的左侧，将查找区间缩小为[low, mid - 1]。

4. 判断是否查找完毕：如果low大于等于high，说明区间已被缩小为零，目标值不存在于数组中，返回特定的“未找到”标记（如-1或None）。

时间复杂度：

• 最好情况（目标值位于数组中间位置）：查找过程可能需要比较 log_2(n) 次（向上取整），时间复杂度为 O(logn)。
• 最坏情况（目标值位于数组的第一个或最后一个位置）：查找过程同样需要比较 log_2(n) 次，时间复杂度为O(logn)。
• 平均情况：查找过程需要比较约 log_2(n) 次，时间复杂度为O(logn)。

空间复杂度：二分查找仅需要常数级别的额外空间，用于存储中间索引等临时变量，因此空间复杂度为O(1)。

二分查找要求数据结构为有序且支持随机访问（如数组），在数据规模较大时具有较高的查找效率。以下是二分查找的Python实现：

Python

1def binary_search(arr, target):
2    low = 0
3    high = len(arr) - 1
4
5    while low <= high:
6        mid = (low + high) // 2
7        mid_value = arr[mid]
8
9        if mid_value == target:
10            return mid  # 目标值找到，返回其索引
11        elif mid_value < target:
12            low = mid + 1  # 目标值可能在中间元素的右侧，缩小查找区间
13        else:
14            high = mid - 1  # 目标值可能在中间元素的左侧，缩小查找区间
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16    return -1  # 目标值未找到，返回特定标记
17
18# 示例
19data = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
20target = 4
21result = binary_search(data, target)
22if result != -1:
23    print(f"Target found at index {result}")
24else:
25    print("Target not found")

通过不断比较中间元素与目标值，调整查找区间，找到目标值时返回其索引，未找到时返回-1。