0 专栏介绍

🔥课设、毕设、创新竞赛必备！🔥本专栏涉及更高阶的运动规划算法轨迹优化实战，包括：曲线生成、碰撞检测、安全走廊、优化建模(QP、SQP、NMPC、iLQR等)、轨迹优化(梯度法、曲线法等)，每个算法都包含代码实现加深理解

🚀详情：运动规划实战进阶：轨迹优化篇

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1 LBFGS优化器

1.1 拟牛顿法框架

在数值优化 | 详解拟牛顿法之SR1、DFP、BFGS、L-BFGS(附案例分析与Python实现)中,我们介绍了拟牛顿法(quasi-Newton method)框架,有助于解决经典牛顿法计算Hessian矩阵的逆矩阵${\mathbf{H}}_k\left(\mathbf{x}\right)$复杂度高、数值稳定性较差的问题

L-BFGS算法是一种用于求解大规模无约束优化问题的拟牛顿法。它是BFGS算法的内存优化版本，适用于高维问题（如机器学习、轨迹优化等）。具体而言,L-BFGS算法仅保留最近$m$步的中间结果来近似Hessian矩阵的逆矩阵${\mathbf{H}}_k\left(\mathbf{x}\right)$

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{H}}_{k+1}& =\left({\mathbf{V}}_k^T\cdots {\mathbf{V}}_{k-m+1}^T\right){\mathbf{H}}_0\left({\mathbf{V}}_{k-m+1}\cdots {\mathbf{V}}_k\right)\\ & +\left({\mathbf{V}}_k^T\cdots {\mathbf{V}}_{k-m+2}^T\right){\rho }_{k-m+1}{\mathbf{s}}_{k-m+1}{\mathbf{s}}_{k-m+1}^T\left({\mathbf{V}}_{k-m+2}\cdots {\mathbf{V}}_k\right)\\ & +\cdots \\ & +{\rho }_k{\mathbf{s}}_k{\mathbf{s}}_k^T\end{array}$$

因此在L-BFGS算法中无需保留完整的${\mathbf{H}}_k$，只需存储向量序列 { s i } i = k − m k \left\{ \boldsymbol{s}_i \right\} _{i=k-m}^{k} {si​}i=k−mk​、 { y i } i = k − m k \left\{ \boldsymbol{y}_i \right\} _{i=k-m}^{k} {yi​}i=k−mk​，占用存储空间$2mn$，空间复杂度为$O(n)$，下降了一个量级.更详细的推导请参考数值优化 | 详解拟牛顿法之SR1、DFP、BFGS、L-BFGS(附案例分析与Python实现)

1.2 LBFGS-Lite库

浙江大学FAST-LAB开源的L-BFGS算法库提供了一个轻量级 L-BFGS 算法实现，支持用户自定义目标函数和梯度计算，专为高效、易用和嵌入式优化设计。它基于 C++ 实现，适用于机器人、自动驾驶等领域的实时优化问题。

下面简单介绍LBFGS-Lite的使用方法：

• 定义目标函数和梯度

  举例而言，设优化目标为
  $$f(\mathbf{x})=(1-x_1{)}^2+100(x_2-x_1^2{)}^2$$

  则梯度
  $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f\left(\mathbf{x}\right)}{\partial x_1}=-2\left(1-x_1+200x_1\left(x_2-x_1^2\right)\right)\\ \frac{\partial f\left(\mathbf{x}\right)}{\partial x_2}=200\left(x_2-x_1^2\right)\end{array}$$

  对应的C++代码为

  static double costFunction(void *instance,const Eigen::VectorXd &x,Eigen::VectorXd &g)
  {const int n = x.size();double fx = 0.0;for (int i = 0; i < n; i += 2){const double t1 = 1.0 - x(i);const double t2 = 10.0 * (x(i + 1) - x(i) * x(i));g(i + 1) = 20.0 * t2;g(i) = -2.0 * (x(i) * g(i + 1) + t1);fx += t1 * t1 + t2 * t2;}return fx;
  }
  

• 给定初始解并优化求解

  /* Set the initial guess */
  for (int i = 0; i < N; i += 2)
  {x(i) = -1.2;x(i + 1) = 1.0;
  }/* Set the minimization parameters */
  lbfgs::lbfgs_parameter_t params;
  params.g_epsilon = 1.0e-8;
  params.past = 3;
  params.delta = 1.0e-8;/* Start minimization */
  int ret = lbfgs::lbfgs_optimize(x,finalCost,costFunction,nullptr,monitorProgress,this,params);
  

2 基于LBFGS的轨迹优化

为了使用LBFGS-Lite进行轨迹优化，我们首先需要定义一个无约束的优化问题：选择优化变量为二维的路径序列 X = { x i = ( x i , y i ) ∣ i ∈ [ 1 , N ] } \mathcal{X} =\left\{ \boldsymbol{x}_i=\left( x_i,y_i \right) |i\in \left[ 1,N \right] \right\} X={xi​=(xi​,yi​)∣i∈[1,N]}，并基于此设计优化目标函数

$$f\left(\mathcal{X}\right)=w_o{P}_{\mathrm{obs}}\left(\mathcal{X}\right)+w_{\kappa }{P}_{\mathrm{cur}}\left(\mathcal{X}\right)+w_s{P}_{\mathrm{smo}}\left(\mathcal{X}\right)$$

其中：

• 障碍目标函数

$$P_{\mathrm{obs}}\left(\mathcal{X}\right)=\sum _{{\mathbf{x}}_i\in \mathcal{X}}{\sigma }_o\left({\Vert {\mathbf{x}}_i-{\mathbf{o}}_{\min }\Vert }_2-d_{\max }\right)$$

• 曲率目标函数

$$P_{\mathrm{cur}}\left(\mathcal{X}\right)=\sum _{{\mathbf{x}}_i\in \mathcal{X}}{\sigma }_{\kappa }\left(\frac{\Delta {\varphi }_i}{{\Vert \Delta {\mathbf{x}}_i\Vert }_2}-{\kappa }_{\max }\right)$$

• 平滑目标函数

$$P_{\mathrm{smo}}\left(\mathcal{X}\right)=\sum _{{\mathbf{x}}_i\in \mathcal{X}}{\Vert \Delta {\mathbf{x}}_i-\Delta {\mathbf{x}}_{i+1}\Vert }_2^2$$

由于LBFGS-Lite需要用户显式地定义目标函数梯度，因此需要进一步计算

• 障碍目标函数梯度

$$\frac{\partial P_{\mathrm{obs}}\left({\mathbf{x}}_i\right)}{\partial {\mathbf{x}}_i}==2\left({\Vert {\mathbf{x}}_i-{\mathbf{o}}_{\min }\Vert }_2-d_{\max }\right)\frac{{\mathbf{x}}_i-{\mathbf{o}}_{\min }}{{\Vert {\mathbf{x}}_i-{\mathbf{o}}_{\min }\Vert }_2}$$

• 曲率目标函数梯度

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial {\kappa }_i}{\partial {\mathbf{x}}_i}& =\frac{1}{{\Vert \Delta {\mathbf{x}}_i\Vert }_2}\frac{-1}{\sqrt{1-{\cos }^2\Delta \varphi }}\left(-{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2\right)-\frac{\Delta {\varphi }_i\Delta {\mathbf{x}}_i}{{\Vert \Delta {\mathbf{x}}_i\Vert }_2^3}\end{array}$$

• 平滑目标函数梯度

$$\frac{\partial P_{\mathrm{smo}}\left({\mathbf{x}}_i\right)}{\partial {\mathbf{x}}_i}=2\left({\mathbf{x}}_{i-2}-4{\mathbf{x}}_{i-1}+6{\mathbf{x}}_i-4{\mathbf{x}}_{i+1}+{\mathbf{x}}_{i+2}\right)$$

上述目标函数的具体定义和梯度推导和轨迹优化 | 基于ESDF的共轭梯度优化算法(附ROS C++/Python仿真)是一致的，感兴趣的同学可以参考

ROS_C_127">3 ROS C++仿真

代价函数和梯度计算的核心代码如下所示

double LBFGSOptimizer::costFunction(void* ptr, const Eigen::VectorXd& x, Eigen::VectorXd& g)
{auto instance = reinterpret_cast<LBFGSOptimizer*>(ptr);const auto& origin_path = instance->path_opt_;int points_num = static_cast<int>(origin_path.size());int var_num = points_num - 4;double cost = 0.0;Eigen::Matrix2Xd grad;grad.resize(2, var_num);grad.setZero();// update opt-path during optimizationEigen::Matrix2Xd path_opt;path_opt.resize(2, points_num);path_opt(0, 0) = origin_path[0].x();path_opt(1, 0) = origin_path[0].y();path_opt(0, 1) = origin_path[1].x();path_opt(1, 1) = origin_path[1].y();path_opt.block(0, 2, 1, var_num) = x.head(var_num).transpose();path_opt.block(1, 2, 1, var_num) = x.tail(var_num).transpose();path_opt(0, points_num - 2) = origin_path[points_num - 2].x();path_opt(1, points_num - 2) = origin_path[points_num - 2].y();path_opt(0, points_num - 1) = origin_path[points_num - 1].x();path_opt(1, points_num - 1) = origin_path[points_num - 1].y();// obstacle termdouble obstacle_cost = 0.0;const auto& obstacle_grad = _calObstacleTerm(instance, path_opt, obstacle_cost);grad += obstacle_grad;cost += obstacle_cost;// smooth termdouble smooth_cost = 0.0;const auto& smooth_grad = _calSmoothTerm(instance, path_opt, smooth_cost);grad += smooth_grad;cost += smooth_cost;// curvature termdouble curvature_cost = 0.0;const auto& curvature_grad = _calCurvatureTerm(instance, path_opt, curvature_cost);grad += curvature_grad;cost += curvature_cost;g.setZero();g.head(var_num) = grad.row(0).transpose();g.tail(var_num) = grad.row(1).transpose();return cost;
}

优化过程的核心代码如下所示

bool LBFGSOptimizer::optimize(const Points3d& waypoints)
{// first two and last two points are constant (to keep start and end direction)int var_num = static_cast<int>(waypoints.size()) - 4;Eigen::VectorXd opt_var(2 * var_num);for (int i = 2; i < static_cast<int>(waypoints.size()) - 2; ++i){opt_var(i - 2) = waypoints[i].x();opt_var(i - 2 + var_num) = waypoints[i].y();}path_opt_ = waypoints;// optimizer parameterslbfgs::lbfgs_parameter_t lbfgs_params;lbfgs_params.mem_size = 256;lbfgs_params.past = 3;lbfgs_params.min_step = 1.0e-32;lbfgs_params.g_epsilon = 0.0;lbfgs_params.delta = 0.01;// optimizationdouble min_cost = 0.0;int ret =lbfgs::lbfgs_optimize(opt_var, min_cost, &LBFGSOptimizer::costFunction, nullptr, nullptr, this, lbfgs_params);// parse solutionif (ret >= 0){for (int i = 0; i < var_num; ++i){path_opt_[i + 2].setX(opt_var(i));path_opt_[i + 2].setY(opt_var(i + var_num));}}else{R_WARN << "LBFGS Optimization failed: " << lbfgs::lbfgs_strerror(ret);return false;}return true;
}

轨迹优化的效果如下,其中橙色为优化后的路径,蓝色为原始路径

全局演示

局部演示

完整工程代码请联系下方博主名片获取

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