前言

本文将介绍如何用定积分计算空间中一段光滑曲线的弧长。首先我们会给出光滑曲线以及曲线弧长的定义，然后从定义出发，用求黎曼和的思想推导出弧长的计算公式。

光滑曲线的定义

设平面曲线的参数方程为
$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}t\in [T_1,T_2].$$
若$x^{\prime }(t)$与$y^{\prime }(t)$在$[T_1,T_2]$上连续，且$[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2\ne 0$，则该曲线被称为光滑曲线。

从光滑曲线的定义能看出，其切线向量在任意方向都是连续变动的，且在任意一点的切线向量都不是零向量，即有特定的方向。

弧长的定义

对曲线参数方程的参数区间$[T_1,T_2]$做如下划分：
$$T_1=t_0<t_1<...<t_n=T_2$$ 这些划分在曲线上形成了$n+1$个点$P_0,P_1,...,P_n$，如下图所示

定义连接两个相邻点之间的线段长度为$\overline{P_{i-1}{P}_i}$。若当$\lambda =\underset{1\le i\le n}{\max }(\Delta t_i)\to 0$时，极限$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\overline{P_{i-1}{P}_i}$存在，且极限值与区间$[T_1,T_2]$的划分无关，则称这条曲线是可求长的，并将极限值
$$l=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\overline{P_{i-1}{P}_i}$$
定义为曲线的弧长。

从曲线弧长的定义来看，它和Riemann和的定义非常相似，如果我们能将$l=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\overline{P_{i-1}{P}_i}$写成Riemann和"$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i-1}^{n}f({\xi }_i)\Delta t_i$"的形式，那我们就可以通过定积分来求解弧长公式了。下面我们将推导出弧长公式。

光滑曲线弧长公式的推导

首先将线段长度写成坐标形式：

$$\begin{array}{c}\overline{P_{i-1}{P}_i}=\sqrt{[x(t_i)-x(t_{i-1}){]}^2+[y(t_i)-y(t_{i-1}){]}^2}\end{array}$$

由于曲线光滑，因此根据Lagrange中值定理，在$(t_{i-1},t_i)$上存在${\eta }_i,{\mu }_i$，使得

$$\begin{array}{c}x(t_i)-x(t_{i-1})=x^{\prime }({\eta }_i)\Delta t_i,y(t_i)-y(t_{i-1})=y^{\prime }({\mu }_i)\Delta t_i,\end{array}$$

则$(1)$式可以写成

$$\begin{array}{c}\overline{P_{i-1}{P}_i}=\sqrt{[x^{\prime }({\eta }_i){]}^2+[y^{\prime }({\mu }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i\end{array}$$

因此有

$$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n\overline{P_{i-1}{P}_i}=\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\eta }_i){]}^2+[y^{\prime }({\mu }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i\end{array}$$

由于${\eta }_i,{\mu }_i$并不一定相同，因此此时$(4)$式并不是一个Riemann和的形式：

$$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i\end{array}$$

接下来我们证明$(4)$式和$(5)$式在$\lambda \to 0$时是相等的。将$(4)$式减去$(5)$式，取绝对值，有

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& \left|\sum _{i=1}^n\overline{P_{i-1}{P}_i}-\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i\right|\\ & =\left|\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\eta }_i){]}^2+[y^{\prime }({\mu }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i-\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i\right|\\ & =\left|\sum _{i=1}^n\left(\sqrt{[x^{\prime }({\eta }_i){]}^2+[y^{\prime }({\mu }_i){]}^2}-\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\right)\Delta t_i\right|\\ & \le \sum _{i=1}^n\left|\left(\sqrt{[x^{\prime }({\eta }_i){]}^2+[y^{\prime }({\mu }_i){]}^2}-\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\right)\right|\Delta t_i\end{array}\end{array}$$

根据向量形式三角不等式

$$\begin{array}{c}\left|\sqrt{x_1^2+x_2^2}-\sqrt{y_1^2+y_2^2}\right|\le \sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}\le |x_1-y_1|+|x_2-y_2|\end{array}$$

(这里简单说明一下$(7)$式的证明方法：在$Oxy$坐标平面上取三个点：$A(x_1,x_2),B(y_1,y_2),C(y_1,x_2)$。在$OAB$和$ABC$这两个三角形中利用三角形不等式有:$|AB|\ge |OA|-|OB|,|AB|\le |AC|+|AB|$）

利用$(7)$式结论，$(6)$式可以写为

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& \left|\sum _{i=1}^n\overline{P_{i-1}{P}_i}-\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i\right|\\ & \le \sum _{i=1}^n\left|\left(\sqrt{[x^{\prime }({\eta }_i){]}^2+[y^{\prime }({\mu }_i){]}^2}-\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\right)\right|\Delta t_i\\ & \le \sum _{i=1}^n\left|x^{\prime }({\eta }_i)-x^{\prime }({\xi }_i)\right|\Delta t_i+\sum _{i=1}^n\left|y^{\prime }({\mu }_i)-y^{\prime }({\xi }_i)\right|\Delta t_i\\ & \le \sum _{i=1}^n{\overline{\omega }}_i\Delta t_i+\sum _{i=1}^n{\tilde{\omega }}_i\Delta t_i\end{array}\end{array}$$

其中${\overline{\omega }}_i,{\tilde{\omega }}_i$分别是$x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)$在$[t_{i-1},t_i]$上的振幅。由于曲线光滑，因此$x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)$在$[t_{i-1},t_i]$上可积，根据黎曼可积的充要条件，当$\lambda =\underset{1\le i\le n}{\max }(\Delta t_i)\to 0$时，振幅满足：$\sum _{i=1}^n{\overline{\omega }}_i\Delta t_i\to 0$, $\sum _{i=1}^n{\tilde{\omega }}_i\Delta t_i\to 0$。因此有：

$$\begin{array}{c}l=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\overline{P_{i-1}{P}_i}=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{[x^{\prime }({\xi }_i){]}^2+[y^{\prime }({\xi }_i){]}^2}\cdot \Delta t_i={\int }_{T_1}^{T_2}\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t\end{array}$$

上式即为弧长的计算公式。对上式求微分即得到弧长的微分：

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}l=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t\end{array}$$

若曲线采用显式方程$y=f(x),x\in [a,b]$来表示时，我们利用$f^{\prime }(x)=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$进行换元，即可得到显式方程下的弧长公式：

$$\begin{array}{c}l={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x\end{array}$$

当曲线采用极坐标方程$r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$来表示时，由于$x=r(\theta )\cos \theta ,y=r(\theta )\sin \theta$，对$\theta$求导后有

$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }(\theta )=r^{\prime }(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta ,y^{\prime }(\theta )=r^{\prime }(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \end{array}$$

将其代入$(9)$式进行换元后得到极坐标下的弧长公式：

$$\begin{array}{c}l={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta \end{array}$$

采用本文同样的方法，可以证明在三维欧式空间中由参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t)，\end{array}t\in [T_1,T_2].$$

确定的光滑曲线的弧长为

$$\begin{array}{c}l={\int }_{T_1}^{T_2}\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t\end{array}$$