线性可分支持向量机的原理推导 9-32线性分类超平面的位置公式解析

本文是将文章《线性可分支持向量机的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。

公式 9-32 是线性可分支持向量机（SVM）中的一个关键公式，用于表达线性分类超平面的位置。通过这个公式，我们可以确定支持向量机的分类边界，并通过分类器将正类样本与负类样本分隔开。

公式 9-32 的表达式为：
$\sum_{i=1}^{N} \alpha_i^* y_i (x_i \cdot x) + b^* = 0$

公式 9-32 表示了支持向量机的分类超平面条件，描述了分类边界上的点的特征。这个公式的含义如下：

$\alpha_i^*$ ：是第 $i$ 个样本点的最优拉格朗日乘子。只有 $\alpha_i^* > 0$ 的点才会对分类超平面的构造产生实际影响，这些点被称为支持向量。
$y_i$ ：是第 $i$ 个样本的类别标签，取值为 $+ 1$ 或 $- 1$ 。
$x_i$ ：是第 $i$ 个样本的特征向量。
$x$ ：是任意待分类的点。
$b^*$ ：是分类超平面的偏置，也称为截距。它定义了分类超平面在特征空间中的位置。
$(x_i \cdot x)$ ：表示支持向量 $x_i$ 与待分类点 $x$ 的内积，反映了这两个点在特征空间中的相似性。

这个公式用于定义分类边界的点。对于位于分类超平面上的点，公式 9-32 的结果为 0，表示这些点恰好位于分类边界上。

公式 9-32 源于支持向量机的对偶问题的解。我们首先回顾一下支持向量机的目标是找到一个分类超平面：
$w^T x + b = 0$

其中，法向量 $w$ 决定了超平面的方向，偏置 $b$ 决定了超平面的具体位置。

根据拉格朗日乘子法，法向量 $w$ 可以表示为所有支持向量的加权和：
$\sum_{i=1}^{N} \alpha_i^* y_i x_i$

将这个表达式代入分类超平面方程 $w^T x + b = 0$ 中，得到：
$\left( \sum_{i=1}^{N} \alpha_i^* y_i x_i \right)^T x + b^* = 0$

将内积展开，得到：
$\sum_{i=1}^{N} \alpha_i^* y_i (x_i \cdot x) + b^* = 0$

这个方程描述了位于分类超平面上的所有点的特征。因此，公式 9-32 表示分类边界上的点满足的条件。

几何上，公式 9-32 表示了支持向量机的分类超平面，它定义了将正类样本和负类样本分隔开的超平面。分类超平面的方程通过支持向量和待分类点的内积计算，确保分类器能够正确划分正类和负类样本。

支持向量的作用：分类超平面的构造是通过所有支持向量 $x_i$ 的加权和来决定的。拉格朗日乘子 $\alpha_i^*$ 的值决定了每个支持向量对超平面构造的贡献。
内积的作用：内积 $(x_i \cdot x)$ 表示支持向量 $x_i$ 和待分类点 $x$ 之间的相似性。相似度越高的点对分类边界的影响越大。

从物理角度看，公式 9-32 表示分类器如何根据支持向量的位置来决定分类超平面的位置。通过对所有支持向量的内积计算，分类器能够精确地确定分类超平面的位置。

分类超平面的位置：通过所有支持向量 $x_i$ 和它们的拉格朗日乘子 $\alpha_i^*$ 的加权和，分类器能够确定分类超平面的位置。偏置 $b^*$ 确保分类超平面不会偏向某一类，而是在特征空间中保持平衡。
支持向量之间的影响：支持向量之间的内积 $(x_i \cdot x)$ 反映了它们对分类边界的相对影响。支持向量 $x_i$ 对于待分类点 $x$ 的影响通过内积体现出来，从而决定了分类的结果。

公式 9-32 是支持向量机中用于定义分类超平面的关键公式之一。通过这个公式，我们可以描述分类器的超平面并决定哪些点位于超平面上，从而确定分类器的分类边界。

定义分类边界：公式 9-32 描述了分类超平面的方程。通过这个方程，我们可以判断哪些点位于分类边界上，并且确保分类器能够准确划分正类和负类样本。
构造分类器：有了分类超平面的方程后，分类器就可以用来对新样本进行分类。如果一个样本点满足公式 9-32，它就是位于分类边界上的点；否则，根据结果的符号可以判断它属于正类还是负类。