如何用算法绘制一张上海外滩夜景图

突发奇想：一个数学界的未解之谜

无意间想到一个有趣的数学问题，也是数学界困扰人类很久的一个谜题：

克拉茨猜想

（图片来源【数学狂】如何形象地展示克拉茨猜想 -- Collatz Conjecture in Color_哔哩哔哩_bilibili）

它也叫3n+1猜想、奇偶归一猜想、乌拉姆 (Ulam)问题、角谷猜想等... 相信你一定听说过

这个猜想的描述十分简单：

任取一正整数，如果是偶数，将其除以2。如果是奇数，将其乘以3再加1，然后重复这个过程，最后结果都是1......

我们可以尝试，随便举个例子：

13是一个奇数，那么我们将它乘3再加1，得到40，

40是一个偶数，那么我们将它除以2，得到20，

以此类推...

你会得到下面这样一个序列：

13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

由10个数组成了这个序列，或者说13对应的序列长度为10

同理，我们再取任意一个数，依然能够得到这样一个序列，并且数一数可以知道这个序列一共有几个数字。

这个模型在算法中被称为冰雹（HailStone）模型，因为在序列中出现的数字，很类似于冰雹在空中运动的轨迹，时而上升一下（遇奇数时），时而下降（遇偶数时）......最终都会回到1。

有趣的是，这个序列中元素的个数，与最初给定的整数的大小，并不是正相关的关系，于是，我愿意探究这个关系，将其用计算机计算出来......

小试牛刀：关于我试图验证克拉茨猜想这件事

根据克拉茨猜想，我直接站在巨人的肩膀上，写出了这段代码：

public class demoHailStone {public static void main(String[] args) {int n = 1;int length = 1;for (int i = 1; i <= 100; i++) {n = i;length = 1;while (n > 1) {if (n % 2 == 1) {n = 3 * n + 1;} else if (n % 2 == 0) {n = n / 2;}length++;}System.out.println(length); // 打印这个序列的长度}}
}

n是最开始给出的整数，比如我在前面给出的13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，这个序列，我们只需要告诉这段代码 n = 13 即可，

while循环用来计算序列的长度 length（序列的长度后面都叫为length），

现在我想得到 n = 1 、 n = 2 、 n = 3 、...、n = 100，对应所有的length

所以我又嵌套了一个for循环，循环100次。

于是，我将光标放在了i <= 的后面，肆意妄为地在小键盘上胡乱地敲击了一通，输入了一个变态的随机数字：138435

for循环了十三万多次，嵌套着while循环，run了一下

（好吧，我可能是算法黑洞……）

好家伙，也就不到1秒的功夫，我的计算机给我返回了十三万次循环的结果，最后几行是这样的：

于是我把 i 加了1换成了138436，又run了一下，又过了不到1秒

输出台中只是在最后一行多了一个57，前面的数字都一样！

此时我已按奈不住激动的内心，两次结果告诉我：

在十三万八千四百三十六这个整数之前的所有正整数，都符合克拉茨猜想！

否则，我的程序会因为得不到n=1的情况，在循环过程中卡住，那么两次输出应该是一样的。

Of course，这并不是一个严谨的数学证明，只不过是一个小实验而已。

不禁对计算机运算的速度表示惊叹，给一个初始正整数，有时可能要算上一百多次才能回到1，更不要说我对从1到138436这十三万多个数字全测试了一个遍，也仅仅用了不到1秒的时间。

统计之美：打开脑洞发现数学就是艺术

起初，我试图发现这些数字背后的规律或者奥秘，但当我滚动着这十三万行结果，进度条怎么也不动时，我知道，这不是我这个普通人类能发现的规律，我只是大概摸索出了一些规律：

1. 最大的length貌似就是300多，没有看到更大的，也就是说很大概率上，无论给一个多大的正整数，用克拉茨算法最多计算300多次也就回到1了

2. 常出现“跟风”现象：几个相邻的整数经过克拉茨猜想算法后，返回的length连续2至多个是一样的，如下：

这样的现象贯彻始终，似乎它们约定好了“三五成群”地聚在一起，很遗憾，这其中的数学原理我还不得而知，但这样的规律实在太明显了，所以拿出来说一说。

当然，以上都像是伪科学，只能算是定性研究，所以我还是决定试着做一些统计分析，把定量的图表呈现出来。

统计分析：

在1-138436之间（我们记为样本A），任取一正整数，如果是偶数，将其除以2。如果是奇数，将其乘以3再加1，然后重复这个过程，记录每个正整数得到1的过程中，运算的次数 length 。

在这样一个相对来说并不小的样本量中，统计所有的 length 以及它对应出现的次数 count：

（前段、中段、尾段）

看到头尾小，肚子大的特点，太容易让我们联想到统计学中的大数定律了

以length为横轴，以length出现的次数count作为纵轴，绘制散点图：

可以观察到一个类似于“M”形状的长尾分布图，最大的length确实也就是300多了（当然可能样本A的样本量并不足够大），更具体的特征还有：

1. 在样本A中，length的长度几乎都是400以内的，最大的length是354，只出现了1次，也就是说在克拉茨猜想的算法中，需要计算超过400次才能回到1的可能性微乎其微。

2. 在样本A中，从1-354的length并不是一直可以连续统计到的，从 length=290 开始，诸如290、293、295、以及后面很多的数...没有作为length的结果出现。（当然可能样本A的样本量并不足够大×2）

3. 在样本A的138436次的while循环运算中，出现次数最多的length是62，出现了1989次，大致计算一下比值=0.01436765，而290、293、295等等，并没有出现过，也就是说，每个length的出场率，大致上是在0%-1.436%之间的......（当然依然可能是样本A的样本量并不足够大）

4. 在样本A中，length 出现的次数随着 length 的变化，并不是平滑的，而是锯齿状的，绘制折线图：