SI，SIS，SIR，SEIRD模型

因为个人工作需要系统地整理SI，SIR以及SEIR模型，故对三个模型进行原理介绍以及对比。文中关于SI，SIS，SIR的所有的截图都来自西工大肖华勇老师在慕课上的分享，原视频戳 这里。SEIRD模型则来自发表在SCI上的paper，想看原文戳这里。

SI model

作为比较古早的传染病模型（不对指数模型进行介绍），SI model在假设人口总数不变（不发生迁移，出生及死亡）的情况下，将人群分为易感人群S（suspectible）和病人I（Infective），在时刻$t$下，这两类人群的占比分别为$s(t)$和$i(t)$，并假设病人每天有效接触的平均人数为$\lambda$。当I类人群与S类人群进行接触，S被感染，转为I类人群。
So，每个病人每天可以感染的人数为$\lambda \cdot s(t)$，共有$N\cdot i(t)$个病人，故每天总感染人数为$\lambda \cdot s(t)N\cdot i(t)$


由图3可得，SI模型中新增病人数量在$i=1/2$时增速最大，带入公式（6）可得$t_m$为该模型适用于不可治愈传染病。

SIS model

和SI模型不同，SIS模型假设病人治好后变成健康者，健康者可以再次被感染成为病人。相比与SI模型， SIS模型增加条件为：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为一个常数$\mu$，称$\mu$为日治愈率，病人治愈后仍可被感染。$\frac{1}{\mu }$为平均感染期。如$\mu =0.2$时，该疾病的日治愈率为$20\%$，平均感染期为5天。

得其增速曲线和函数曲线分别为

$\sigma >1$代表每天传染的人数大于治愈的人数，$\sigma \le 1$则相反。SIS的模型曲线表明，当每天传染的人数大于治愈人数时（$\sigma >1$），不论初始状态下病人的人数是否大于$1-\frac{1}{\sigma }$，最终感染的人数都趋于定值；当$\sigma \le 1$时，所有人都会被治愈。显而易见，$\sigma$在其中起关键作用。

SIR model

SIR考虑三种人群状态：S 类人群，易感人群；I 类人群，感染者；R 类人群，康复者，指的是感染者成功治愈，有免疫力的健康者。


由该图可得，SIR模型中病人最终全被治愈/移除，健康的易感者保持大于$5\%$的比例。该图由matlab绘制，具体参数如下：

其中病人初始占比为0.1，易感者为0.9。
在这里要说明的是，大部分论文在使用SIR模型时，传染率和治愈率是呈1.5倍的关系，即传染率比治愈率等于1.5，而治愈率由图中的拓扑结构决定，与肖老师在PPT中所展示的图有所不同。所以大部分论文在使用SIR模型时，得出的结论是图中感染者的数量最终会达到一个稳定状态（如下图所示），即趋于定值。

SEIRD model

受新冠疫情的启发，相对于SIR模型，该模型多了潜伏期（E），死亡（D）。

参数$\gamma$反映了估计的病程时间,$\gamma \in [\frac{1}{18},\frac{1}{5}]$。
参数$\sigma$反映了该疾病的估计潜伏期, $\sigma \in [\frac{1}{5},\frac{1}{3}]$.
参数$\beta$反映了感染者与他人互动的速率。它通常被写成$\beta =R_0\gamma$，其中$R_0$称为基本复制数，表示疾病的传染速度。Liu等人（2020）回顾了关于covid-19r0估计的文献，得出结论，文献中的平均和中位数估计约为3，但 在最新的文献中，有人认为5.7更合理。
参数$\alpha$为infection fatality rate（IFR）死亡率，一般情况下$\alpha$是变化的，在本文中作者认为$\alpha$为定值。
参数$\lambda$为真实报道中感染新冠病毒的人数占比，为定值。
模型初始化阶段为$D(0)=0,R(0)=0,C(0)=0,S(0)=N-E(0)-I(0)-R(0)-D(0)=N-E(0)-I(0)$。