D - Longest X
题意:
给定一个只由 X X X和 ‘ . ’ ‘.’ ‘.’组成的字符串,现在可以把任意位置上的 ‘ . ’ ‘.’ ‘.’改成 X X X,问最多改 K K K次,由连续的 X X X组成的字符串的最长长度
这个题的思路与下面的 F F F类似,所以放在前面做引导。
思路:
直接二分区间长度,然后看对应区间内,修改最多 K K K次,能否全部都变成 X X X即可,也可以双指针,来做这个题
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
#define ll long long
char s[N];
ll sum[N];
int len;
int k;
struct node {int id;int dis;
} pos[N];
bool check(int x) {for (int i = 1; i + x - 1 <= len; i++) {int j = i + x - 1;if (sum[j] - sum[i - 1] + k >= x) {return 1;}}return 0;
}
int main() {cin >> s + 1 >> k;len = strlen(s + 1);ll num = 0;for (int i = 1; i <= len; i++) {if (s[i] == 'X') {sum[i] = ++num;} else {sum[i] = sum[i - 1];}}if (len - sum[len] <= k) {printf("%d\n", len);return 0;}int l = 0, r = len;while (l < r) {int mid = (l + r + 1) >> 1;if (check(mid)) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}cout << l << endl;
}
E - Graph Destruction
题意:
N N N个点 M M M条边的无向图,现在问每次按照顺序(1,2…n)删除一个点,问图中剩下的连通块的数量是多少?
思路:
直接反着进行这个操作,每次往图中加入一个点,每加入一个点之前,先判断图中连通块的数量,每次新加进来的一个点,如果能跟已有的点形成一个连通块的话,数量 − 1 -1 −1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;vector<int> g[N];
int n, m;
int fa[N];
int res;
int ans[N];
int find(int x) {if (x != fa[x]) fa[x] = find(fa[x]);return fa[x];
}void Union(int a, int b) {a = find(a), b = find(b);if (a != b) {res--;fa[a] = b;}
}
int main() {for (int i = 1; i < N; i++) {fa[i] = i;}cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++) {int a, b;cin >> a >> b;g[a].push_back(b);g[b].push_back(a);}for (int i = n; i >= 1; i--) {ans[i] = res++;for (int j = 0; j < g[i].size(); j++) {int to = g[i][j];if (to > i) {Union(to, i);}}}for (int i = 1; i <= n; i++) {cout << ans[i] << endl;}
}
F - Make Bipartite
题意:
给定一个 N + 1 N+1 N+1个点的图, 0 , 1 , 2.... N 0,1,2....N 0,1,2....N
0 0 0号点在中间, 1 , 2 , 3 , 4... N 1,2,3,4...N 1,2,3,4...N与 0 0 0直接相连, a i a_i ai代表 i i i号点与 0 0 0点相连的边权, b i b_i bi代表 i i i点与 i + 1 i+1 i+1号点直接相连的边权, N + 1 N+1 N+1代表 1 1 1号点,此时形成一个网状的图,问现在删除一些边,使得图变成一个二分图,问删除边的边权和最小是多少?
思路:
因为要构造二分图,所以就可以认为图中的点,分为黑白 01 01 01两组,下面用 0 0 0代表黑, 1 1 1代表白
此时设 0 0 0点为黑色,如果设为白色是一样的,镜像而已。
那么此时其他点就需要考虑所有情况
设 d p ( i , j , k ) dp(i,j,k) dp(i,j,k)代表从 1 1 1染色染到 i i i, i i i的颜色是 j j j, 1 1 1的颜色是 k k k
起始状态
d p ( 1 , 0 , 0 ) = a 1 dp(1,0,0)=a_1 dp(1,0,0)=a1,因为 1 1 1号与 0 0 0号都是黑色,所以需要断开边 a 1 a_1 a1
d p ( 1 , 1 , 1 ) = 0 dp(1,1,1)=0 dp(1,1,1)=0,因为 1 1 1与 0 0 0不同色,不同断开边
那么此时 d p ( i , 1 , 0 ) = m i n ( d p ( i − 1 , 1 , 0 ) + b i − 1 , d p ( i − 1 , 0 , 0 ) ) dp(i,1,0)=min(dp(i-1,1,0)+b_{i-1},dp(i-1,0,0)) dp(i,1,0)=min(dp(i−1,1,0)+bi−1,dp(i−1,0,0))
d p ( i , 1 , 1 ) = m i n ( d p ( i − 1 , 1 , 1 ) + b i − 1 + d p ( i − 1 , 0 , 1 ) ) dp(i,1,1)=min(dp(i-1,1,1)+b_{i-1}+dp(i-1,0,1)) dp(i,1,1)=min(dp(i−1,1,1)+bi−1+dp(i−1,0,1))
d p ( i , 0 , 1 ) = m i n ( d p ( i − 1 , 0 , 1 ) + a i + b i − 1 , d p ( i − 1 , 1 , 1 ) + a i ) dp(i,0,1)=min(dp(i-1,0,1)+a_i+b_{i-1},dp(i-1,1,1)+a_i) dp(i,0,1)=min(dp(i−1,0,1)+ai+bi−1,dp(i−1,1,1)+ai)
d p ( i , 0 , 0 ) = m i n ( d p ( i − 1 , 0 , 0 ) + a i + b i − 1 , d p ( i − 1 , 1 , 0 ) + a i ) dp(i,0,0)=min(dp(i-1,0,0)+a_i+b_{i-1},dp(i-1,1,0)+a_i) dp(i,0,0)=min(dp(i−1,0,0)+ai+bi−1,dp(i−1,1,0)+ai)
状态方程的转移,就是看当前点与上一个点的相连状态和 0 0 0点的项链状态
因为 N N N与 1 1 1还相连,所以最后取答案时两者颜色相同时注意取 b n b_n bn即可
最终在 d p ( n , 1 , 1 ) + b n , d p ( n , 0 , 0 ) + b [ n ] , d p ( n , 1 , 0 ) , d p ( n , 0 , 1 ) dp(n,1,1)+b_n,dp(n,0,0)+b[n],dp(n,1,0),dp(n,0,1) dp(n,1,1)+bn,dp(n,0,0)+b[n],dp(n,1,0),dp(n,0,1)中选最小的即可。
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
using ll = long long;
ll dp[N][2][2];
ll a[N], b[N];
int n;int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];}for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> b[i];}memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));dp[1][0][0] = a[1];dp[1][1][1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i][1][0] = min({dp[i - 1][0][0], dp[i - 1][1][0] + b[i - 1]});dp[i][1][1] = min({dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][1][1] + b[i - 1]});dp[i][0][1] = min({dp[i - 1][1][1] + a[i], dp[i - 1][0][1] + b[i - 1] + a[i]});dp[i][0][0] = min({dp[i - 1][1][0] + a[i], dp[i - 1][0][0] + b[i - 1] + a[i]});}ll res = 1e18;for (int i = 0; i <= 1; i++) {for (int j = 0; j <= 1; j++) {if(i==j) {res=min(res,dp[n][i][j]+b[n]);} else {res=min(res,dp[n][i][j]);}}}cout << res << endl;
}
G - Longest Y
题意:
给定一个仅有 Y Y Y和 ‘ . ’ ‘.’ ‘.’组成的字符串,现在可以进行最多 K K K次操作,可以进行的操作就是可以将相邻的字符交换位置,问最后能形成的由连续的 Y Y Y组成的字符串长度是多长
思路:
把每个 Y Y Y的位置记录下来形成一个 A A A数组,例如样例一的 A = [ 1 , 2 , 6 , 8 , 10 ] A=[1,2,6,8,10] A=[1,2,6,8,10],现在再令 B B B数组为 A i − i A_i-i Ai−i,即 B = [ 0 , 0 , 3 , 4 , 5 ] B=[0,0,3,4,5] B=[0,0,3,4,5],两个字符如果相邻的话,就代表它在 B B B数组中的数字是一样的,因为每次只能交换相邻的字符,所以对于 B B B数组来说就是只能对其中的元素 + 1 +1 +1(代表与右边的字符交换)或者 − 1 -1 −1(代表与左边的字符交换)
此时问题转换为了,最多进行 K K K次 + 1 或 − 1 +1或-1 +1或−1操作,最多能使几个数字变得相同 (问题1)
解决问题 1 1 1,可以先解决最多进行 K K K次操作,能否使得长度为 X X X的数组内的元素都变成一样的数 (问题2)
解决问题2之前,考虑要想把长度为 X X X的数组内的元素都变成同一个元素,所需要的最小次数是多少(问题3),这就是一个经典的问题了,可以转换为一个函数
f ( x ) = ∑ i = t t + X − 1 ∣ B i − x ∣ f(x)=\sum \limits_{i=t} ^{t+X-1}|B_i-x| f(x)=i=t∑t+X−1∣Bi−x∣
是这个函数最小,那么 x x x只需要取这个范围内的中位数即可,即 B t + X / 2 B_{t+X/2} Bt+X/2,此时 f ( x ) f(x) f(x)最小,此时解决了问题三,就可以二分枚举区间长度,然后看这个区间内的元素进行 K K K次操作后,能否都变成相同的数字。
此时问题就变得和 D D D类似,可以用二分或者双指针解决了
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
#define ll long longll a[N], b[N];
ll sum[N];
char s[N];
ll k;
int len;
int num;bool check(int x) {for (int l = 1; l + x - 1 <= num; l++) {int r = min(x + l - 1, num);int mid = (l + r) / 2;ll all = b[mid] * (mid - l + 1ll) - (sum[mid] - sum[l - 1]);all += (sum[r] - sum[mid - 1]) - b[mid] * (r - mid + 1);if (all <= k) {return 1;}}return 0;
}
int main() {cin >> s + 1 >> k;len = strlen(s + 1);for (int i = 1; i <= len; i++) {if (s[i] == 'Y') {a[++num] = i;}}for (int i = 1; i <= num; i++) {b[i] = a[i] - i;}sort(b + 1, b + num + 1);for (int i = 1; i <= num; i++) {sum[i] = sum[i - 1] + b[i];}int l = 0, r = N;while (l < r) {int mid = l + r + 1 >> 1;if (check(mid)) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}cout << l << endl;
}
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
int b[maxn], sum[maxn];
int a[maxn];
string s;
int n, m, k, ans = 0;
int get(int l, int r) {int all = 0;int mid = (l + r) / 2;all = b[mid] * (mid - l + 1) - (sum[mid] - sum[l - 1]);all += (sum[r] - sum[mid - 1]) - b[mid] * (r - mid + 1);return all;
}
signed main() {cin >> s >> k;int n = s.size();for (int i = 0; i < n; ++i)if (s[i] == 'Y') {a[++m]=i;}for (int i = 1; i <= m; ++i) b[i] = a[i] - i;for (int i = 1; i <= m; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + b[i];int i = 1;for (int j = 1; j <= m; ++j) {while (i <= j && get(i, j) > k) i++;ans = max(j - i + 1, ans);}cout << ans;return 0;
}
To be continued
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