将Z变换方程转换为差分方程的过程称为反Z变换。反Z变换是将信号从复频域转换为时间域的过程。如果我们已知一个系统的传递函数，即Z变换方程：
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = b n + b n − 1 z − 1 + ⋯ + b 0 z − n 1 a n + a n − 1 z − 1 + ⋯ + a 0 z − n 0 H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_n + b_{n-1} z^{-1} + \dots + b_0 z^{-n_1}}{a_n + a_{n-1} z^{-1} + \dots + a_0 z^{-n_0}} H(z)=X(z)Y(z)=an+an−1z−1+⋯+a0z−n0bn+bn−1z−1+⋯+b0z−n1
其中， X ( z ) X(z) X(z) 和 Y ( z ) Y(z) Y(z) 分别表示输入和输出信号的Z变换， a i a_i ai 和 b i b_i bi 是差分方程的系数。
我们可以通过以下步骤将其转换为差分方程：
- 对 H ( z ) H(z) H(z) 进行偏分式分解，得到 H ( z ) H(z) H(z) 的部分分式形式：
H ( z ) = b n + b n − 1 z − 1 + ⋯ + b 0 z − n 1 a n + a n − 1 z − 1 + ⋯ + a 0 z − n 0 = A 1 1 − p 1 z − 1 + A 2 1 − p 2 z − 1 + ⋯ + A n 1 − p n z − 1 H(z) = \frac{b_n + b_{n-1} z^{-1} + \dots + b_0 z^{-n_1}}{a_n + a_{n-1} z^{-1} + \dots + a_0 z^{-n_0}} = \frac{A_1}{1-p_1 z^{-1}} + \frac{A_2}{1-p_2 z^{-1}} + \dots + \frac{A_n}{1-p_n z^{-1}} H(z)=an+an−1z−1+⋯+a0z−n0bn+bn−1z−1+⋯+b0z−n1=1−p1z−1A1+1−p2z−1A2+⋯+1−pnz−1An
其中， p 1 , … , p n p_1,\ldots,p_n p1,…,pn 是 H ( z ) H(z) H(z) 的极点， A 1 , … , A n A_1,\ldots,A_n A1,…,An 是对应的系数。
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对每一项 A i 1 − p i z − 1 \frac{A_i}{1-p_i z^{-1}} 1−piz−1Ai 进行反Z变换，得到形如 a i y [ n − i ] a_i y[n-i] aiy[n−i] 的项。
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将所有项相加，得到差分方程的形式：
a n y [ n ] + a n − 1 y [ n − 1 ] + ⋯ + a 0 y [ n − n 0 ] = b n x [ n ] + b n − 1 x [ n − 1 ] + ⋯ + b 0 x [ n − n 1 ] a_n y[n] + a_{n-1} y[n-1] + \dots + a_0 y[n-n_0] = b_n x[n] + b_{n-1} x[n-1] + \dots + b_0 x[n-n_1] any[n]+an−1y[n−1]+⋯+a0y[n−n0]=bnx[n]+bn−1x[n−1]+⋯+b0x[n−n1]
其中， x [ n ] x[n] x[n] 和 y [ n ] y[n] y[n] 分别表示输入和输出信号， a i a_i ai 和 b i b_i bi 是差分方程的系数，它们可以通过 A i A_i Ai 和 p i p_i pi 计算得到。
需要注意的是，反Z变换的结果可能包含复数项，这时需要使用欧拉公式将其转换为实数项。此外，反Z变换的结果也可能包含单位脉冲响应，需要根据初始条件确定其值。
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