Codeforces Round #829 Div. 2 D. Factorial Divisibility(结论&数学)

注意$1\le a_i\le x$

显然$a_i=x$没有影响。

那么只需考虑$[1,x-1]$这一部分的和。

注意到：$i!\times (i+1)=(i+1)!$

我们开个数组统计每个$i$的次数。

然后用上面的公式转化。这样保证每个$cn{t}_i\le i$

考虑${\sum }_{i=1}^{x-1}cn{t}_i\times i!$的最大值。

显然是$cn{t}_i=i$

那么${\sum }_{i=1}^{x-1}i\times i!=\sum (i+1-1)\times i!=(i+1)!-i!$ 可以错位相减。

然后 ∑ i = 1 x − 1 i × i ! = max ⁡ { ∑ c n t i × i ! } = x ! − 1 < x ! \sum_{i=1}^{x-1}i\times i!=\max\{\sum cnt_i\times i!\}=x!-1<x! ∑i=1x−1​i×i!=max{∑cnti​×i!}=x!−1<x!

那么如果要整除$x!$，显然这个部分要是$x!$的倍数，然后最大值都小于$x!$，所以只能等于0.

然后$O(n)$扫一遍即可。

// Problem: D. Factorial Divisibility
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #829 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1754/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2022-11-11 16:22:51
// --------by Herio--------#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int hashmod[4] = {402653189,805306457,1610612741,998244353};
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define db double
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define VI vector<int>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr) 
void Print(int *a,int n){for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);printf("%d\n",a[n]); 
}
template <typename T>		//x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y){if(x<y) x=y;
}
template <typename T>
void cmn(T &x,T y){if(x>y) x=y;
}
int main(){int n,x;IOS;cin>>n>>x;vector<int>a(x+1);for(int i=1;i<=n;i++){int y;cin>>y;a[y]++;}int ok  =1;for(int i=1;i<x;i++){while(a[i]>i){a[i]-=i+1;a[i+1]++;}if(a[i]){ok = 0;break;}}if(ok)cout<<"Yes";else cout<<"No";return 0;
}