时间复杂度

概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间理论上来说是算不出来的，因为它不仅仅与你写的算法有关，还与运行这个算法的机器也有关系，如果你的机器很好，那么你所耗费的时间就可能会更少，所以，一个算法耗费的时间是需要放在机器上实际测验才能知道的，但是我们总不能每个算法都拿来上机测试，来记录该算法的时间，所以我们就有了时间复杂度这样的分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的线性表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
我们来计算一下下面代码的时间复杂度

void Func1(int N) 
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i) {for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) {++count;}int M = 10;while (M--) {++count;}printf("%d\n", count);
}

这个函数在调用的过程中使用了三个for循环和一个while循环，每循环一次我们说它进行了一次基本操作。那么这个函数执行基本操作的次数为F(N)=N²+2*N+10
那么我们如何用大O的线性表示法来表示这个函数的时间复杂度呢？

推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

按照上面的规则，那么上述代码的时间复杂度就为O(N²)。
我们发现，通过上面的规则，我们就使用N²来代替了N²+2*N+10，我们为什么要这样规定呢，我们以上面的表达式为例，当N为不同的值时，表达式的结果为多少

N=100 F(N)=10210
N=1000 F(N)=1002010
N=10000 F(N)=100020010

我们发现，当N不断变大时，表达式的值也不断变大，而对表达式的结果影响最大的一项就是这个表达式中阶数最高的那一项。

那我们为什么只保留对结果影响最大的那一项呢？我们知道时间复杂度描述的对象是一个算法，而不是某一次的运算，那么当我们使用这个算法并向里面传入一个能够影响算法基本操作执行次数的变量时，我们并不能确定我们输入的N的值是多少，N就有可能是任何值，当N比较小时，也许别的项与最高阶项的结果差距并没有那么大，但是当N的值越来越大时，最高阶项的值与其他项的值的差距也就越来越大了，我们还是以上面的代码为例，当我们的N在不断的变大时，因为其余项对结果的影响相对来说比较小，那么我们就可以忽略他们对结果的影响，只保留对结果影响最大的那一项来表示我们的时间复杂度。

那么为什么我们要用1来表示所以的常数呢，这是因为计算机的运行速度是非常快的，每秒可能就可以执行上亿此的运算，那么常数次的执行次数与我们计算机的运算速度相比，可能与执行一次的运行速度相差不会太大，所以我们就使用1来代替所有的常数项，那么只有循环次数为常数的算法的时间复杂度相应的就是O(1)。

去掉与最高阶项相乘的常数的原因也是因为对结果影响最大的是这个最高阶项，而不是这个最高阶项前面的系数，所以也要把它去掉。

空间复杂度

空间复杂度的定义
空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

空间复杂度举例
冒泡排序的空间复杂度？

void BubbleSort(int* a, int n) 
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

还是刚刚冒泡排序的代码，我们刚刚计算了它的时间复杂度，现在再来看一下它的空间复杂度，根据定义我们知道，空间复杂度是用来估算占用空间的大小的，那么我们就可以根据算法中创建的变量的个数来表示算法的空间复杂度，这个冒泡排序算法创建了3个变量，根据大O的渐进表示法的规则，该算法的空间复杂度就为O(1)。