反射系数、阻抗与史密斯（Smith）圆图之间的关系

作者：杭州冥鸿电子科技有限公司
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我们已经知道一个二端口S参数的具体含义：

S11表示在端口2端接匹配情况下，端口1的反射系数；

S21表示在端口2端接匹配情况下，端口1到端口2的正向传输系数；

S22表示在端口1端接匹配情况下，端口2的反射系数；

S12表示在端口1端接匹配情况下，端口2到端口1的反向传输系数；

已知要使信号源传送到负载的功率最大，信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗，即

RS+jXS = RL-jXL

在这个条件下，从信号源到负载传输的能量最大。另外，为有效传输功率，满足这个条件可以避免能量从负载反射到信号源，尤其是在诸如视频传输、RF或微波网络的高频应用环境更是如此。

1、反射系数定义

在物理学和电机工程学中，反射系数是一个描述在传输介质中因为阻抗的不连续造成有多少电磁波被反射的参数。它等于反射波与入射波的振幅比，两者也可以相量表示。

反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比：

负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。反射系数的表达式定义为：

上图由于阻抗是复数，反射系数也是复数。注意到负的反射系数意味着反射波接受到 180°，或者说π的相移。

反射系数的绝对值（用竖线标明）可以用驻波比（SWR）计算，电压驻波比(Voltage Standing Wave Ration，简称SWR): 波腹电压/波节电压。振幅为零的点称为节点或波节（英语：Node），振幅最大的点位于两节点之间，称为腹点或波腹（英语：Antinode）。

2、史密斯（Smith）圆图

史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用它，可以在不作任何计算的前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿着圆周线读取并跟踪数据。

史密斯圆图是反射系数(伽马，以符号Γ表示)的极座标图。反射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数，即S11。

史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们不直接考虑阻抗，而是用反射系数ΓL，反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导)，在处理RF频率的问题时ΓL更加有用。

3、由反射系数求阻抗

为了减少未知参数的数量，可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Z0 (特性阻抗)通常为常数并且是实数，是常用的归一化标准值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。于是我们可以定义归一化的负载阻抗：

据此，将反射系数的公式重新写为：

从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复数，所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。

为了建立圆图，方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。

首先，由方程2.3求解出；

并且

令等式 2.5 的实部和虚部相等，得到两个独立的关系式：

4、反射系数表示在史密斯圆图

重新整理等式 2.6，经过等式 2.8 至 2.13 得到最终的方程 2.14。这个方程是在复平面(Γr, Γi)、圆的参数方程(x - a)² + (y - b)² = R²，它以[r/(r + 1), 0]为圆心，半径为1/(1 + r)。

更多细节如下图：

圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如，r = 1的圆，以(0.5, 0)为圆心，半径为0.5。它包含了代表反射零点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配）。以(0, 0)为圆心、半径为1的圆代表负载短路。负载开路时，圆退化为一个点(以1, 0为圆心，半径为零)。与此对应的是最大的反射系数1，即所有的入射波都被反射回来。

在作史密斯圆图时，有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面：

所有的圆周只有一个相同的，唯一的交点(1, 0)。
代表0Ω、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。
无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0)
实际中没有负的电阻，如果出现负阻值，有可能产生振荡。
选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。

5、阻抗表示在史密斯圆图

经过等式2.15至2.18的变换，2.7式可以推导出另一个参数方程，方程2.19。

同样，2.19也是在复平面(Γr, Γi)上的圆的参数方程(x - a)² + (y - b)² = R²，它的圆心为(1, 1/x)，半径1/x。

更多细节如下图：

圆周上的点表示具有相同虚部 x 的阻抗。例如， × = 1 的圆以 (1, 1) 为圆心，半径为 1 。所有的圆 (x 为常数 ) 都包括点 (1, 0) 。与实部圆周不同的是， x 既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上 1 点的垂直线上。

6、完成圆图

为了完成史密斯圆图，我们将两簇圆周放在一起。可以发现一簇圆周的所有圆会与另一簇圆周的所有圆相交。若已知阻抗为 r + jx，只需要找到对应于 r 和 x 的两个圆周的交点就可以得到相应的反射系数。

上述过程是可逆的，如果已知反射系数，可以找到两个圆周的交点从而读取相应的 r 和×的值。过程如下：

确定阻抗在史密斯圆图上的对应点
找到与此阻抗对应的反射系数(Γ)
已知特性阻抗和Γ，找出阻抗
将阻抗转换为导纳
找出等效的阻抗
找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元件)

7、举例

因为史密斯圆图是一种基于图形的解法，所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。下面是一个用史密斯圆图表示的RF应用实例：

例：已知特性阻抗为50Ω，负载阻抗如下：

对上面的值进行归一化并标示在圆图中，如下图（点击看大图）：

现在可以通过上面的圆图直接解出反射系数Γ。画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交点)，只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影，就得到了反射系数的实部Γr和虚部Γi (如下图)。

该范例中可能存在八种情况，在下图所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数Γ：

从X-Y轴直接读出反射系数Γ的实部和虚部

8、总结

在拥有功能强大的软件和高速、高性能计算机的今天，人们会怀疑在解决电路基本问题的时候是否还需要这样一种基础和初级的方法。

实际上，一个真正的工程师不仅应该拥有理论知识，更应该具有利用各种资源解决问题的能力。在程序中加入几个数字然后得出结果的确是件容易的事情，当问题的解十分复杂、并且不唯一时，让计算机作这样的工作尤其方便。然而，如果能够理解计算机的工作平台所使用的基本理论和原理，知道它们的由来，这样的工程师或设计者就能够成为更加全面和值得信赖的专家，得到的结果也更加可靠。

附：反射系数、回波损耗、S11、驻波比对照表

反射系数（ρ）= 反射电压/入射电压（假定结果取模为标量ρ）；

回波损耗（Return Loss，简称RL）= 入射功率/反射功率, 单位为dB数值；

S11表示在端口2端接匹配情况下，端口1的反射系数（假定单位为dB数值）；

驻波比（SWR）=波腹电压/波节电压；

四者的关系如下：

S11 = 20lg(ρ);

RL = -S11 = -20lg(ρ);

SWR = (1+|ρ|)/(1-|ρ|);

ρ = (SWR-1)/(SWR+1);