上篇博客 【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 迭代原则 | 入基 | 出基 | 线性规划求解示例 ) 讲解了单纯形法中选择了入基变量 , 与出基变量 , 找到了下一组迭代的可行基 , 下面开始继续进行后续操作 ;

一、初始基可行解后第一次迭代

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线性规划标准形式为 :

$$\begin{array}{l}maxZ=3x_1+4x_2+0x_3+0x_4\\ \\ \{\begin{array}{ll}2x_1+x_2+x_3+0x_4=40& \\ & \\ x_1+3x_2+0x_3+x_4=30& \\ & \\ x_j\ge 0& (j=1,2,3,4)\end{array}\end{array}$$

选择初始基可行解并验证最优解 : 选择初始基可行解经过验证 , 不是最优解 , 该初始基可行解对应基变量是 $x_3,x_4$ ;

进行迭代 : 开始进行迭代 , 选择 $x_2$ 作为入基 , 选择 $x_4$ 作为出基 , 新的基变量变成了 $x_3,x_2$ , 新的基矩阵变为 $\left[\begin{array}{cccc}& 1& 1& \\ & & & \\ & 0& 3& \end{array}\right]$ ;

二、迭代后新的单纯形表

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单纯形表中的矩阵要求 : 单纯形表中的矩阵是特殊形式的矩阵 , 基矩阵对应的矩阵必须是单位阵 , 非基矩阵对应的矩阵是 $B^{-1}N$ ;

只要基矩阵变换为单位阵 , 非基矩阵自然就是 $B^{-1}N$
参考 : 【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 单纯形表 | 系数计算方法 | 根据系数是否小于等于 0 判定最优解 ) 四、$B^{-1}N$ 分析

同解方程组 : 同一个线性规划 , 方程组的解不能变 ;

方程组同解变换 : 保证同解方程组前提下 , 使 $x_2$ 对应的列向量由 $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ 变成 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ , 这样 $x_3$ 与 $x_2$ 对应的列向量组成的基矩阵就变成了 $\left(\begin{array}{c}10\\ 01\end{array}\right)$ , 此时基变量是单位阵 , 非基矩阵自然就是 $B^{-1}N$ ;

三、方程组同解变换

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方程组做同解变换 :

线性规划原始方程组为 $\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3+0x_4=40\\ \\ x_1+3x_2+0x_3+x_4=30\end{array}$ , 需要将 $x_2$ 的系数变为 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ , $x_3$ 的系数保持 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ 不变 ;

方程 $2$ 同解变换 : 在 $x_1+3x_2+0x_3+x_4=30$ 中 , 需要将 $x_2$ 的系数变成 $1$ , 在方程两端乘以 $\frac{1}{3}$ , 此时方程变成 $\frac{1}{3}{x}_1+x_2+0x_3+\frac{1}{3}{x}_4=10$ ;

方程 $1$ 同解变换 : 将上述方程 $2$ 作同解变换后 , 方程组变成 $\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3+0x_4=40\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+0x_3+\frac{1}{3}{x}_4=10\end{array}$ , 目前的需求是将方程 $1$ 的 $x_2$ 系数变为 $0$ , 使用方程 $1$ 减去 方程 $2$ 即可得到要求的矩阵 :

$$\begin{array}{lcl}(2-\frac{1}{3})x_1+0x_2+x_3+(0-\frac{1}{3})x_4& =& 40-10\\ & & \\ \frac{5}{3}{x}_1+0x_2+x_3-\frac{1}{3}{x}_4& =& 30\end{array}$$

最终方程 $1$ 转化为 $\frac{5}{3}{x}_1+0x_2+x_3-\frac{1}{3}{x}_4=30$ ;

同解变换完成后的方程组为 $\{\begin{array}{l}\frac{5}{3}{x}_1+0x_2+x_3-\frac{1}{3}{x}_4=30\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+0x_3+\frac{1}{3}{x}_4=10\end{array}$

四、生成新的单纯形表

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单纯形表变成如下形式 : 下面的单纯形表中 , 上面部分是初始基可行解对应的单纯形表 , 下面的部分是本次迭代后生成的新的单纯形表 ;

将同解变换后的方程组中的 系数矩阵 , 和 常数 , 填入新的单纯形表中 ;

$c_j$	$c_j$		$3$	$4$	$0$	$0$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	${\theta }_i$
$0$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$40$	$2$	$1$	$1$	$0$	$40$ ( ${\theta }_3$ )
$0$ ( 目标函数 $x_4$ 系数 $c_4$)	$x_4$	$30$	$1$	$3$	$0$	$1$	$10$ ( ${\theta }_4$ )
${\sigma }_j$			$3$ ( ${\sigma }_1$ )	$4$ ( ${\sigma }_2$ )	$0$	$0$
–	–	–	–	–	–	–	–
$0$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$30$	$\frac{5}{3}$	$0$	$1$	$-\frac{1}{3}$	$?$ ( ${\theta }_3$ )
$4$ ( 目标函数 $x_2$ 系数 $c_2$)	$x_2$	$10$	$\frac{1}{3}$	$1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$?$ ( ${\theta }_2$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$\frac{5}{3}$ ( ${\sigma }_1$ )	$0$	$0$	$-\frac{4}{3}$ ( ${\sigma }_4$ )

五、解出基可行解

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新的 基变量是 $x_3,x_2$ , 对应的基矩阵是 $\left(\begin{array}{c}10\\ 01\end{array}\right)$ , 非基变量是 $x_1,x_4$ , 对应的非基矩阵是 $\left(\begin{array}{c}\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\frac{1}{3}\end{array}\right)$ , 将非基变量设置为 $0$ , 方程组为 $\{\begin{array}{l}\frac{5}{3}\times 0+0x_2+x_3-\frac{1}{3}\times 0=30\\ \\ \frac{1}{3}\times 0+x_2+0x_3+\frac{1}{3}\times 0=10\end{array}$ , 解出基变量为 $\{\begin{array}{l}{x}_3=30\\ \\ x_2=10\end{array}$ , 基可行解 为 $\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 30\\ 0\end{array}\right)$

六、计算检验数 ${\sigma }_j$ 并选择入基变量

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根据 【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 单纯形表 | 系数计算方法 | 根据系数是否小于等于 0 判定最优解 ) 博客中分析 , 检验数计算公式为 :

• 矩阵形式 : $C_N^T-C_B^T{B}^{-1}N$
• 单个检验数计算公式 : ${\sigma }_j=c_j-\sum c_i{a}_{ij}$

基变量的检验数是 $0$ , 主要是求非基变量的检验数 ${\sigma }_1,{\sigma }_4$ ;

${\sigma }_1=c_1-(c_3{a}_{11}+c_2{a}_{12})$

${\sigma }_1=3-(0\times \frac{5}{3})-(4\times \frac{1}{3})=\frac{5}{3}$ , 是从下面的单纯形表中的如下位置提取的数值 ;

${\sigma }_4=c_4-(c_3{a}_{41}+c_2{a}_{42})$

${\sigma }_4=0-(0\times -\frac{1}{3})-(4\times \frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$ , 是从下面的单纯形表中的如下位置提取的数值 ;

检验数 $\{\begin{array}{l}{\sigma }_1=3-(0\times \frac{5}{3})-(4\times \frac{1}{3})=\frac{5}{3}\\ \\ {\sigma }_4=0-(0\times -\frac{1}{3})-(4\times \frac{1}{3})=-\frac{4}{3}\end{array}$ , ${\sigma }_1$ 是大于 $0$ 的 , 两个检验数必须都小于等于 $0$ , 该基可行解才算作是最优解 , 因此 该基可行解不是最优解 ;

根据检验数选择入基变量 : 继续迭代 , 选择检验数较大的非基变量 , 作为入基变量 , 这里入基变量是 $x_1$ ;

七、计算 $\theta$ 值并选择出基变量

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参考博客 【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 迭代原则 | 入基 | 出基 | 线性规划求解示例 ) 五、出基与入基变量选择

入基变量 根据检验数 $\sigma$ 选择的是 $x_1$ ;

出基变量是根据 $\theta$ 值来选择的 , 选择 $\theta$ 值较小的值对应的基变量作为出基变量 ;

$\theta$ 值计算 : 常数列 $b=\left(\begin{array}{c}30\\ 10\end{array}\right)$ , 分别除以除以入基变量 $x_1$ 大于 $0$ 的系数列 $\left(\begin{array}{c}\frac{5}{3}\\ \\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$ , 计算过程如下 $\left(\begin{array}{c}\frac{30}{\frac{5}{3}}\\ \\ \frac{10}{\frac{1}{3}}\end{array}\right)$ , 得出结果是 $\left(\begin{array}{c}18\\ \\ 30\end{array}\right)$ , 然后选择一个最小值 $18$ , 查看该最小值对应的变量是 $x_3$ , 选择该变量作为出基变量 ;

$x_1$ 作入基变量 , $x_3$ 作出基变量 ; 使用 $x_1$ 替代基变量中 $x_3$ 的位置 ;

迭代后的基变量为 $x_1,x_2$ ;

更新一下单纯形表 :

$c_j$	$c_j$		$3$	$4$	$0$	$0$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	${\theta }_i$
$0$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$40$	$2$	$1$	$1$	$0$	$40$ ( ${\theta }_3$ )
$0$ ( 目标函数 $x_4$ 系数 $c_4$)	$x_4$	$30$	$1$	$3$	$0$	$1$	$10$ ( ${\theta }_4$ )
${\sigma }_j$			$3$ ( ${\sigma }_1$ )	$4$ ( ${\sigma }_2$ )	$0$	$0$
–	–	–	–	–	–	–	–
$0$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$ )	$x_3$	$30$	$\frac{5}{3}$	$0$	$1$	$-\frac{1}{3}$	$18$ ( ${\theta }_3$ )
$4$ ( 目标函数 $x_2$ 系数 $c_2$)	$x_2$	$10$	$\frac{1}{3}$	$1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$30$ ( ${\theta }_2$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$\frac{5}{3}$ ( ${\sigma }_1$ )	$0$	$0$	$-\frac{4}{3}$ ( ${\sigma }_4$ )