随着数据量和数据特征数的增加，传统的统计方法无法满足模型和算法的分析。高维统计中的工具和方法对于分析模型和估计真值有着重要作用。

高维统计的notes主要分为两个部分：

• partA：工具和方法
  • 向量：稀疏性
  • 矩阵：结构性
  • 无限维：结构性
• partB：一些具体的模型和估计器

这篇notes的主要内容包括：

• 高维统计的roadmap
• 高维统计和传统统计的区别
• 高维的困难（后续）
• 处理高维的工具（partA）
• 高维的实际应用

1. roadmap

partA部分是学习高维统计用到的基本工具和方法，比如基本不等式、concentration of measurement、大数定律、metric entropy

partB部分是具体的模型和估计器，比如协方差估计、稀疏模型、PCA、可分模型、带秩约束的矩阵估计、图模型、非参数模型

除此之外还有更高级的工具和方法，比如location and uniform laws、核方法、minmax lower bounds

2. 为什么要学习高维统计

研究高维的动机：

• 实际中高维数据的普遍：$d<<n$，特征维度$d$大于或者远大于样本数量$n$
• 模型分析中，“样本量$n$大，特征维数$d$固定”的假设不成立
• 高维时，传统方法经常失效

传统渐进理论VS高维渐进理论VS非渐进界：

• 传统渐进理论：“$n\to \infty ,fixd$ ”的假设，例如大数定理、中心极限定理
• 高维渐进理论：“$(n,d)\to \infty ,\Phi (n,d)fixor\Phi (n,d)\to \alpha \in [0,\infty )$”的假设
• 非渐进理论：“$(n,d)fixed$”的假设，结论是关于其的高概率陈述

3. 一些高维统计的应用

高维统计对向量到矩阵再到无限维模型的分析都有重要应用。

3.1 线性判别分析

考虑如下二分类问题

$x\in R^d$是从两个可能的分布${\mathbb{P}}_1,{\mathbb{P}}_2$中抽样得到，若这两个分布已知，则根据对数似然率（log-likelihood ratio）$log\frac{{\mathbb{P}}_2(x)}{{\mathbb{P}}_1(x)}$进行推断

若${\mathbb{P}}_1,{\mathbb{P}}_2$为高斯分布$N({\mu }_1,\Sigma ),N({\mu }_2,\Sigma )$，此时对数似然率有：

误差：

• 传统统计角度，即$d$固定，样本量趋于无穷，由大数定律可知，以下估计量是误差的无偏估计

• 从高维渐进的角度，即$(n_1,n_2,d)\to \infty$,$d/n_i\to \alpha >0$
  

3.2 方差估计

考虑如下方差估计问题

假设随机向量集合 { x 1 , . . . , x n } \{x_1,...,x_n\} {x1​,...,xn​},每个随机向量$x_i$服从均值$\mu =0$,方差$\Sigma$的iid分布，样本均差矩阵：

• 传统统计角度，即$d$固定，样本量趋于无穷
  
• 从高维渐进的角度，即$(n_1,n_2,d)\to \infty$,$d/n_i\to \alpha >0$
  

3.3 非参数回归