第二类换元法

前置知识：直接积分法

第二类换元法简介

在求 $∫f(x)dx\int f(x)dx$ 时，若不好求，则我们可以令 $x=φ(t)x=\varphi(t)$ ，则
$∫f(x)dx=∫f(φ(t))d(φ(t))=∫f(φ(t))φ′(t)dt\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))d(\varphi(t))=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$

这里涉及到一阶微分形式不变性。

以上就是第二类换元法。在积分式 $∫f(x)dx\int f(x)dx$ 比较复杂的情况下，可以用第二类换元法进行变换。

以下是几种代换方法。

三角代换

若被积函数含有二次根式，通常用三角换元，一般的三角换元如下：

$a2−x2\sqrt{a^2-x^2}$ 型：令 $x=asin⁡tx=a\sin t$
$a2+x2\sqrt{a^2+x^2}$ 型：令 $x=atan⁡tx=a\tan t$
$x2−a2\sqrt{x^2-a^2}$ 型：令 $x=asec⁡tx=a\sec t$

可以通过画直角三角形来帮助理解。

三角代换的例题

题1： 计算 $∫a2−x2dx\int \sqrt{a^2-x^2}dx$ ， $(a > 0)$

解：
$\qquad$ 令 $x=asin⁡tx=a\sin t$ ， $t=arcsin⁡xt=\arcsin x$ ， $dx=acos⁡tdtdx=a\cos tdt$

$\qquad$ 原式 $=∫acos⁡t⋅acos⁡tdt=a2∫cos⁡2tdt=\int a\cos t\cdot a\cos t dt=a^2\int\cos^2tdt$

$=a2∫12(1+cos⁡2t)dt=a22∫(1+cos⁡2t)dt\qquad\qquad =a^2\int \dfrac 12(1+\cos 2t)dt=\dfrac{a^2}{2}\int (1+\cos 2t)dt$

$=a22(t+12sin⁡2t)+C=a22t+a22sin⁡tcos⁡t+C\qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}(t+\dfrac 12\sin 2t)+C=\dfrac{a^2}{2}t+\dfrac{a^2}{2}\sin t\cos t+C$

$=a22arcsin⁡xa+a22⋅xa⋅a2−x2a+C\qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac xa+\dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac xa\cdot \dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C$

$=a22arcsin⁡xa+12xa2−x2+C\qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac xa+\dfrac 12x\sqrt{a^2-x^2}+C$

题2： 计算 $∫1(x2+1)3dx\int \dfrac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}dx$

解：
$\qquad$ 令 $x=tan⁡tx=\tan t$ ， $t=arctan⁡xt=\arctan x$ ， $dx=\sec^2tdt$

$\qquad$ 原式 $=∫1sec⁡3t⋅sec⁡2tdt=∫cos⁡tdt=sin⁡t+C=xx2+1+C=\int\dfrac{1}{\sec^3 t}\cdot \sec^2 tdt=\int\cos tdt=\sin t+C=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C$

当 $x=tan⁡tx=\tan t$ 时， $x2+1=tan⁡2t+1=sin⁡2tcos⁡2t+1=sin⁡2t+cos⁡2tcos⁡2t=1cos⁡2t=sec⁡2tx^2+1=\tan^2 t+1=\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+1=\dfrac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\cos^2 t}=\dfrac{1}{\cos^2 t}=\sec^2t$

幂代换

被积函数含有 $ax+bn\sqrt[n]{ax+b}$ 或 $ax+bcx+dn\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$ 时，通常用幂代换。

幂代换的例题

题1： 计算 $∫11+2xdx\int \dfrac{1}{1+\sqrt{2x}}dx$
解：
$\qquad$ 令 $2x=t\sqrt{2x}=t$ ， $x=12t2x=\dfrac 12t^2$ ， $d x = t d t$

$\qquad$ 原式 $=∫11+t⋅tdt=∫t1+tdt=∫(1−11+t)dt=\int\dfrac{1}{1+t}\cdot tdt=\int\dfrac{t}{1+t}dt=\int(1-\dfrac{1}{1+t})dt$

$=t−ln⁡∣1+t∣+C=2x+ln⁡∣1+2x∣+C\qquad\qquad =t-\ln|1+t|+C=\sqrt{2x}+\ln|1+\sqrt{2x}|+C$

倒代换

当分子和分母的幂次相差大于等于 $2$ 时，通常用 $x=1tx=\dfrac 1t$ 替换。

倒代换例题

题1： 计算 $∫1x4(x2+1)dx\int \dfrac{1}{x^4(x^2+1)}dx$
解：
$\qquad$ 令 $x=1tx=\dfrac 1t$ ， $t=1xt=\dfrac 1x$ ， $dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dt$

$\qquad$ 原式 $=∫11t4(1t2+1)⋅(−1t2)dt=\int\dfrac{1}{\frac{1}{t^4}(\frac{1}{t^2}+1)}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt$

$=−∫t41+t2dt=−∫(t2−1+11+t2)dt\qquad\qquad =-\int\dfrac{t^4}{1+t^2}dt=-\int(t^2-1+\dfrac{1}{1+t^2})dt$

$=−13t2+t−arctan⁡t+C=−13x2+1x−arctan⁡1x+C\qquad\qquad =-\dfrac 13t^2+t-\arctan t+C=-\dfrac{1}{3x^2}+\dfrac 1x-\arctan \dfrac 1x+C$

指数代换

由 $e^x$ 或 $e^{-x}$ 构成的北被积函数，通常用 $t=x^e$ 替换。

指数替换例题

题1： $∫11+exdx\int \dfrac{1}{1+e^x}dx$
解：
$\qquad$ 令 $t=e^x$ ， $x=ln⁡tx=\ln t$ ， $dx=1tdtdx=\dfrac 1tdt$

$\qquad$ 原式 $=∫11+t⋅1tdt=∫(1t−11+t)dt=ln⁡∣t∣−ln⁡∣t+1∣+C=x−ln⁡(ex+1)+C=\int\dfrac{1}{1+t}\cdot \dfrac 1tdt=\int(\dfrac 1t-\dfrac{1}{1+t})dt=\ln|t|-\ln|t+1|+C=x-\ln (e^x+1)+C$