图解max{X,Y}或min{X,Y}并求相关概率

对max{X,Y}或min{X,Y}进行分解再求解
P ( m a x { X , Y } ≥ c ) = P [ ( X ≥ c ) ∪ ( Y ≥ c ) ] P ( m a x { X , Y } ≤ c ) = P [ ( X ≤ c ) ∩ ( Y ≤ c ) ] P ( m i n { X , Y } ≥ c ) = P [ ( X ≥ c ) ∩ ( Y ≥ c ) ] P ( m i n { X , Y } ≤ c ) = P [ ( X ≤ c ) ∪ ( Y ≤ c ) ] P(max\{X,Y\}\geq c)=P[(X\geq c)\cup(Y\geq c)]\\ P(max\{X,Y\}\leq c)=P[(X\leq c)\cap(Y\leq c)]\\ P(min\{X,Y\}\geq c)=P[(X\geq c)\cap(Y\geq c)]\\ P(min\{X,Y\}\leq c)=P[(X\leq c)\cup(Y\leq c)]\\ P(max{X,Y}≥c)=P[(X≥c)∪(Y≥c)]P(max{X,Y}≤c)=P[(X≤c)∩(Y≤c)]P(min{X,Y}≥c)=P[(X≥c)∩(Y≥c)]P(min{X,Y}≤c)=P[(X≤c)∪(Y≤c)]
先来图解一下上述结论
P ( m a x { X , Y } ≥ c ) = P [ ( X ≥ c ) ∪ ( Y ≥ c ) ] P(max\{X,Y\}\geq c)=P[(X\geq c)\cup(Y\geq c)] P(max{X,Y}≥c)=P[(X≥c)∪(Y≥c)]

P ( m a x { X , Y } ≤ c ) = P [ ( X ≤ c ) ∩ ( Y ≤ c ) ] P(max\{X,Y\}\leq c)=P[(X\leq c)\cap(Y\leq c)] P(max{X,Y}≤c)=P[(X≤c)∩(Y≤c)]

P ( m i n { X , Y } ≥ c ) = P [ ( X ≥ c ) ∩ ( Y ≥ c ) ] P(min\{X,Y\}\geq c)=P[(X\geq c)\cap(Y\geq c)] P(min{X,Y}≥c)=P[(X≥c)∩(Y≥c)]

P ( m i n { X , Y } ≤ c ) = P [ ( X ≤ c ) ∪ ( Y ≤ c ) ] P(min\{X,Y\}\leq c)=P[(X\leq c)\cup(Y\leq c)] P(min{X,Y}≤c)=P[(X≤c)∪(Y≤c)]

要注意区别 $max(X,Y)\le c$ 和 $min(X,Y)\le c$ 的示意图

不知道各位读者注意到了没有，在画 $X=c$ 和 $Y=c$ 时左右两个图是有区别的，这是由于上图左侧图像中$Y=X$的上半部分是 $Y$ 下半部分是 $X$ 所以在画 $X=c$ 时虚线只划到取 $X$ 的部分，在画 $Y=c$ 时虚线只画到取 $Y$ 的部分，上图右侧图像同理如此。

例：2006年数学一