0801向量及其线性运算-向量代数与空间解析几何

1 向量的概念

既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）。

表示

用有向线段表示向量：

向量大小：有向线段的长度
向量方向：有向线段的方向

示例如下图1-1所示：

在这里插入图片描述

记法：字母上面加箭头
- 单字母： $\vec a,\vec b, \vec F$
- 双字母（起点和终点）： $\vec{AB}, \vec {AD}$

在数学上我们只研究与起点无关的向量，称这种向量为自由向量。

向量相等：两个向量 $\vec a,\vec b$ 大小相等，方向相同，则向量 $\vec a,\vec b$ 相等，记作， $\vec a = \vec b$ .
- 经平移后两个向量能完全重合
大小和方向

向量的大小叫做向量的模。

示例，向量 $\vec{AB},\vec a$ 的模记作 $|\vec {AB}|,|\vec a|$ .

模等于1的向量叫做单位向量。模等于零的向量叫做零向量。

注：零向量模为0，方向任意。

向量夹角

设两个非零向量 $\vec a,\vec b$ ,任取空间一点 $O,作\vec{OA}=\vec a,\vec{OB}=\vec b$ ,规定不超过 $\pi的角\angle{AOB}$ 成为向量 $\vec a,\vec b$ 的夹角,记作 $(\hat{\vec a,\vec b})或(\hat{\vec b,\vec a})$ .

示例如下图1-2所示：在这里插入图片描述

注： $0\le\phi\le\pi$

向量平行与垂直

如果 $(\hat{\vec a,\vec b})=0或\pi$ ,就称向量 $\vec a,\vec b$ 平行，记作 $\vec a\parallel\vec b$ .如果 $(\hat{\vec a,\vec b})=\frac{\pi}{2}$ ,就称向量 $\vec a,\vec b$ 垂直，记作 $\vec a\perp\vec b$ …

注：零向量与任意向量平行，与任意向量垂直。

起点相同的平行向量，又称向量共线；如果 $k$ 个向量起点和终点在一个平面上，就称这 $k$ 个向量共面。

2 向量的线性运算（几何方法）

2.1 向量的加减法

向量加法：

平行四边形法则： $\vec c = \vec a + \vec b$ ,如下图2.1-1所示，
三角形法则： $\vec c = \vec a + \vec b$ ,如下图2.1-2所示

向量加法的运算规律：

交换律： $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a $
结合律： $(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)$

n个向量相加：$\vec a_1 + \vec a_2 + \cdots + \vec a_n $.

以向量相加的三角形法则，推广到n个向量相加：即以前一向量的终点做次一向量的起点，相继做向量 $\vec a_1,\vec a_2,\cdots,\vec a_n$ ,连接第一个向量的起点和最后一个向量终点的向量即为这n个向量的和，记作

$\vec s = \vec a_1 + \vec a_2 + \cdots + \vec a_n$

如下图2.1-3所示：

在这里插入图片描述

向量减法：

已知向量 $\vec a$ ,与 $\vec a$ 模相等方向相反的向量叫做 $\vec a$ 的负向量，记作 $-\vec a$ 。

$\vec b - \vec a = \vec b + (-\vec a)$

向量 $\vec b 减去\vec a$ ，把两向量移到同一起点，从向量 $\vec a终点指向\vec b$ 终点的向量即为 $\vec与\vec a$ 的差，如下图1.2-4所示：

在这里插入图片描述

注：

$\vec a - \vec a = \vec 0, \vec a \pm \vec 0 = \vec a$
由三角形两边之和大于第三边有
- $|\vec a + \vec b|\le |\vec a| + |\vec b|$
- $|\vec a - \vec b|\le |\vec a| + |\vec b|$

2.2 向量与数的乘法(数乘)

向量 $\vec a与实数\lambda$ 的乘积记作 $\lambda\vec a$ ,称为 $\vec a 与\lambda$ 的数乘。规定 $\lambda\vec a$ 为一个向量。

数乘向量：

模： $|\lambda\vec a|=|\lambda|\cdot|\vec a|$
方向：当 $\lambda\gt 0$ 时，与 $\vec a$ 相同；当 $\lambda\lt 0$ 时，方向与 $\vec a$ 相反；当 $\lambda=0$ 时， $\lambda\vec a=\vec 0$ 。

数乘运算规律：

结合律： $\lambda(\mu\vec a)=(\lambda\mu)\vec a$
分配律：
- $(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a + \mu\vec a$
- $\lambda(\vec a + \vec b)=\lambda\vec a + \lambda\vec b$

例1：证明三角形的中位线平行于底边且为底边的一半。

图示2.2-1如下所示：

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$证明：D为AB的中点，E为AC的中点\\ \vec{DE}=\vec{AE}-\vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}\vec{BC} \\ \therefore \vec{DE}\parallel \vec{BC},且|\vec{DE}|=\frac{1}{2}|\vec{BC}|$

2.3 向量数乘的应用

向量 $\vec a$ 的单位向量

设 $\vec e_a 表示与非零向量\vec a$ 同方向的单位向量，则

$|\vec a|\gt0,|\vec a|\vec e_a 与\vec a$ 同方向,且 $a|\vec e_a|=|\vec a|,即\vec e_a = \frac{\vec a}{|\vec a|}$

两个向量平行的充要条件

定理1 设向量 $\vec a\not =\vec 0$ ,则 $\vec b 平行于\vec a$ 的充要条件是：存在唯一实数 $\lambda$ ，使得 $\vec b = \lambda\vec a$ .

数轴

如下图2.3-1所示：

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给定点O即单位向量 $\vec i$ 确定了数轴Ox则，

点P $\leftrightarrow$ $\vec{OP}=x\vec i$ $\leftrightarrow$ $x$

示例如下图直角坐标系2.3-2所示：

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$\vec i 为x轴的单位向量，\vec j为y轴单位向量\\ \vec{OP}=2\vec i,\vec{OQ}=3\vec j$

3 空间直角坐标系

3.1 基本概念

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一点：O坐标原点
三轴：三个两两垂直的单位向量 $\vec i,\vec j,\vec k$ 以O为原点确定的三个两两垂直的数轴
- x轴也称横轴，单位向量 $\vec i$ ;
- y轴，也称纵轴，单位向量, $\vec j$ ;
- z轴，也称竖轴，单位向量 $\vec k$ .
三个坐标平面
- xOy：x轴与y轴确定的平面；
- yOz：y轴与z轴确定的平面；
- zOx：z轴与x轴确定的平面。
八卦限:罗马字母1~8

3.2 向量的坐标表示

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向经的坐标表示：空间直角坐标系中起点为O的向量，如上图所示 $\vec r$

$\vec r = \vec{OM}=\vec{ON}+\vec{NM}=\vec{OP}+\vec{OQ}+\vec{OR}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$

$(x,y,z)称为向经\vec r$ 的坐标表示

一般向量的表示

点 $M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$ ,则向量 $\vec{M_1M_2}=(x_2,y_2,z_2)-(x_1,y_1,z_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$

4 利用坐标做向量的线性运算

设 $\vec a=(x_1,y_1,z_1),\vec b=(x_2,y_2,z_2)$

利用向量的加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有

$\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2)$
$\lambda\vec a=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)$

定理1指出，当 $\vec a\not=\vec0$ 时, $\vec a\parallel\vec b,等价于\vec b=\lambda\vec a$ ,坐标表示

$(x_2,y_2,z_2)=\lambda(x_1,y_1,z_1)即\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}=\frac{z_2}{z_1}$

5 向量的模、方向角、投影

5.1 向量的模

设有向量 $\vec r =(x,y,z)$ ,如#3图示，则

$|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

空间两点 $M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$ 之间的距离， $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

例1 ：已知点 $A (4, 0, 5), B (7, 1, 3)$ ,求

（1） $\vec{AB}$ (2) $|\vec{AB}|$ (3) $\vec e_{\vec{AB}}$

（4）若 $\vec b=(6,\lambda,\mu),且\vec b\parallel \vec{AB}$ ,求 $\lambda,\mu$
$\vec{AB}=(3,1,-2)\\ |\vec{AB}|=\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{14}\\ \vec{e_{\vec{AB}}}=\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(3,1,-2)\\ \because \vec b\parallel \vec{AB}\\ \therefore \frac{6}{3}=\frac{\lambda}{1}=\frac{\mu}{-2}\\ \therefore \lambda=2,\mu=-4$

5.2 方向角与方向余弦

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设有向量 $\vec r=(x,y,z)\not=\vec0$

方向角： $\alpha,\beta,\gamma$ 称为向量 $\vec r$ 的方向角。
方向余弦： $\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 称为向量 $\vec r$ 的方向余弦。

$\cos\alpha=\frac{x}{|\vec r|},\cos\beta=\frac{y}{|\vec r|},\cos\gamma=\frac{z}{|\vec r|}$

则 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=(\frac{x}{|\vec r|},\frac{y}{|\vec r|},\frac{z}{|\vec r|})=\vec e_{\vec r}$

以向量 $\vec r$ 的方向余弦为坐标的向量，即为向量 $\vec r$ 的单位向量，有

$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

例2 已知两点 $M_1(2,2,\sqrt2)和M_2(1,3,0)$ ,计算向量 $\vec{M_1M_2}$ 的模、方向余弦和方向角。
$解：\\ |\vec{M_1M_2}|=|(-1,1,-\sqrt2)|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-\sqrt2)^2}=2\\ \cos\alpha=-\frac{1}{2},\cos\beta=\frac{1}{2},\cos\gamma=-\frac{\sqrt2}{2}\\ \alpha=\frac{2\pi}{3},\beta=\frac{\pi}{3},\gamma=\frac{3\pi}{4}$

例3 设点A位于第1卦限，向经 $\vec{OA}$ 与x轴，y轴的夹角依次为 $\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4},且|\vec{OA}|=6$ ，求点A的坐标。
$解：设A的坐标为(x,y,z),则x\gt0,y\gt0,z\gt0\\ \cos\alpha=\frac{1}{2},\cos\beta=\frac{\sqrt2}{2}\\ 则\cos\gamma=\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta}=\frac{1}{2}\\ \therefore \vec{OA}=|\vec{OA}|\vec e_{\vec{OA}}=6(\frac{1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{1}{2})=(3,3\sqrt2,3)\\ 即A的坐标为(3,3\sqrt2,3)$

5.3 向量在轴上的投影

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设点O及单位向量 $\vec e$ 确定 $u$ 轴，任取向量 $\vec r=\vec{OM}$ ,过M点做垂直于u轴的平面与u轴相交于 $M^{'}$ (点M在u轴上的投影)，称 $\vec{OM^{'}}$ 为 $\vec r$ 在u轴上的分向量。若 $\vec{OM^{'}}=\lambda\vec r$ ,则称 $\lambda$ 为 $\vec r$ 在u上的投影，记作

$\lambda=Prj_u\vec r或(\vec r)_u$

注：

记 $\vec r与u$ 轴的夹角为 $\phi$ ,则若 $0\le\phi\lt\frac{\pi}{2},Pij_u\vec r\gt0$ ;若 $\frac{\pi}{2}\lt\phi\le\pi,Pij_u\vec r\gt0$ ;若 $\phi\le=\frac{\pi}{2},Pij_u\vec r=0$ .
类似的可以定义一个向量在另外一个向量上的投影。
$(\vec b)_{\vec a}=|\vec b|\cos\phi$