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1.背景

2023年，M Abdel-Basset等人受到克拉克的星鸦自然行为启发，提出了星鸦优化算法算法（Nutcracker Optimization Algorithm, NOA）。

2.算法原理

2.1算法思想

NOA模拟了星鸦自然行为，星鸦在不同的时期表现出两种不同的行为。星鸦的季节性行为可以分为两个主要部分：

• 夏季和秋季的种子储存：在这两个季节，星鸦积极寻找种子并将其储存在精心挑选的贮藏处，为冬季缺食的时期做准备。
• 冬季和春季的基于记忆的寻食：利用空间记忆策略，星鸦通过识别地标和其他视觉线索来找到之前隐藏的种子。如果无法找到储存的种子，它们则会随机探索周围环境以寻找食物。

2.2算法过程

NOA模拟星鸦的行为，两种主要策略：(i)觅食和储存策略;(ii)缓存搜索和恢复策略。

觅食阶段:探索阶段1

星鸦在搜索空间内进行寻食，它首先检查每个锥体的初始位置来寻找种子。如果发现优质的种子，星鸦会将其运送到储藏区并将其埋藏。如果未找到优质种子，它将继续在松树或其他树种的不同位置搜索新的种子：
$${\vec{X}}_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}{X}_{i,j}^t& \mathrm{if}{\tau }_1<{\tau }_2\\ \{\begin{array}{ll}{X}_{m,j}^t+\gamma \cdot \left(X_{A,j}^t-X_{B,j}^t\right)& \\ & \\ +\mu .\left(r^2.U_j-L_j\right),& \mathrm{if}t\le T_{max}/2.0\\ & \\ X_{C,j}^t+\mu \cdot \left(X_{A,j}^t-X_{B,j}^t\right)& \\ & \\ +\mu .\left(r_1<\delta \right).\left(r^2.U_j-L_j\right),& \mathrm{otherwise}\end{array}& \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
γ参数为莱维飞行得到，µ是基于正态分布(τ4)， levy-flight (τ5)，随机在0到1 (τ3)之间生成的数：
$$\mu =\{\begin{array}{ll}{\tau }_3& if{r}_1<r_2\\ {\tau }_4& if{r}_2<r_3\\ {\tau }_5& if{r}_1<r_3\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
τ1和τ2作为尺度因子控制NOA探索能力，可以在τ1和τ2的大小范围内交替进行局部和全局搜索。µ提供星鸦信息有关所需的方向与各种步长，以探索一个新的位置。

存储阶段:开发阶段1

星鸦首先将在前一阶段(探索阶段1)中获得的食物运送到临时存储地点(存储区域)：
$${\vec{X}}_i^{t+1(new)}=\{\begin{array}{ll}{\vec{X}}_i^t+\mu \cdot \left({\vec{X}}_{best}^t-{\vec{X}}_i^t\right)\cdot |\lambda |+r_1\cdot \left({\vec{X}}_A^t-{\vec{X}}_B^t\right)& \text{if }{\tau }_1<{\tau }_2\\ {\vec{X}}_{best}^t+\mu \cdot \left({\vec{X}}_A^t-{\vec{X}}_B^t\right)& \text{if }{\tau }_1<{\tau }_3\\ {\vec{X}}_{best}^t\cdot l& \text{Otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
l是NOA开发行为从1到0线性递减的因子，觅食阶段与缓存之间平衡：
$${\vec{X}}_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}\text{Eq.(1),}& \text{if }\phi >P_{a_1}\\ \text{Eq.(3),}& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中φ是0到1之间的随机数，Pa1表示从1到0线性递减的概率值。

参考记忆

在将种子储存好之后，星鸦将会激活记忆，它们依靠对贮藏物所在位置的记忆来度过冬天。

缓存搜索阶段:探索阶段2

星鸦利用了一种层级记忆策略来恢复它们隐藏的食物，如果星鸦不能找到第一个RP储存的食物，那么它将通过第二个RP识别它。如果星鸦不能第二次检索它的缓存，那么它将使用第三个引用。第一个RP是通过更新相邻区域内的当前位置来找到星鸦周围隐藏的缓存：
$${\overrightarrow{RP}}_{i,k}^t={\vec{X}}_i^t+\alpha \cdot \cos (\theta )\cdot \left(\left({\vec{X}}_A^t-{\vec{X}}_B^t\right)\right),k=1\text{\hspace{1em}(5)}$$

探索不同的区域寻找隐藏的宝藏，第二个RP表述为：
$$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{RP}}_{i,k}^t={\vec{X}}_i^t+\alpha \cdot \cos (\theta )\cdot \left(\left(\vec{U}-\vec{L}\right)\cdot {\tau }_3+\vec{L}\right)\cdot {\overrightarrow{U}}_2,k=2\\ & {\overrightarrow{U}}_1=\{\begin{array}{ll}1& \overrightarrow{r_2}<P_{\tau p}\\ 0& otherwise\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
星鸦在三维空间中有三个不同的位置，一个缓存有三个不同的RP位置：
$${\overrightarrow{RP}}_{i,1}^t=\{\begin{array}{ll}{\vec{X}}_i^t+\alpha \cdot \cos \left(\theta \right)\cdot \left(\left({\vec{X}}_A^t-{\vec{X}}_B^t\right)\right)+\alpha \cdot RP,& if\theta =\pi /2\\ {\vec{X}}_i^t+\alpha \cdot \cos \left(\theta \right)\cdot \left(\left({\vec{X}}_A^t-{\vec{X}}_B^t\right)\right),& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
$${\overrightarrow{RP}}_{i,2}^t=\{\begin{array}{ll}{\vec{X}}_i^t+\left(\alpha \cdot \cos \left(\theta \right)\cdot \left(\left(\vec{U}-\vec{L}\right)\cdot {\tau }_3+\vec{L}\right)+\alpha \cdot RP\right)\cdot {\overrightarrow{U}}_2,if\theta =\pi /2& \\ {\vec{X}}_i^t+\alpha \cdot \cos (\theta )\cdot \left(\left(\vec{U}-\vec{L}\right)\cdot {\tau }_3+\vec{L}\right)\cdot {\overrightarrow{U}}_2,& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
α确保NOA定期收敛，允许胡桃夹子在下一代中改进其RP选择:
$$\alpha =\{\begin{array}{llc}{\left(1-\frac{t}{T_{max}}\right)}^{2\frac{t}{T_{max}}},& if{r}_1>r_2& \\ & & \\ {\left(\frac{t}{T_{max}}\right)}^{\frac{2}{t}},& otherwise& \end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
随着每次迭代，算法将以适当的rp探索和利用缓存周围的区域，以避免陷入局部最小值：
$${\vec{X}}_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}{\vec{X}}_i^t,& iff\left({\vec{X}}_i^t\right)<if({\overrightarrow{RP}}_{i,1}^t)\\ {\overrightarrow{RP}}_{i,1}^t,& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

恢复阶段:开发阶段2

星鸦在寻找它的食物时可能存在两种可能。第一，星鸦可以使用第一个RP记住缓存的位置。第二，该食物不存在：
$$X_{i,j}^{t+1}=\{\begin{array}{ll}{X}_{i,j}^t,& if{\tau }_3<{\tau }_4\\ X_{i,j}^t+r_1\cdot \left(X_{best,j}^t-X_{i,j}^t\right)+r_2\cdot \left({\overrightarrow{RP}}_{i,1}^t-X_{C,j}^t\right),& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

第二个RP进行更新:
$${\vec{X}}_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}{\vec{X}}_i^t,& iff\left({\vec{X}}_i^t\right)<if({\overrightarrow{RP}}_{i,2}^t)\\ {\overrightarrow{RP}}_{i,2}^t,& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
假设星鸦使用第二个RP找到它的缓存：
$$X_{ij}^{t+1}=\{\begin{array}{ll}{X}_{ij}^t,& if{\tau }_5<{\tau }_6\\ X_{ij}^t+r_1\cdot \left(X_{best,j}^t-X_{ij}^t\right)+r_2\cdot \left(\overrightarrow{R}{P}_{i,2}^t-X_{cj}^t\right),& otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
算法围绕涉及最优解的最合适区域加强局部搜索，总结为：
$${\vec{X}}_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}\text{Eq.(13),}& \text{if}{\tau }_7<{\tau }_8\\ \text{Eq.(15),}& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
等式中的第一种情况表示记住隐藏存储的星鸦，而第二种情况表示不记住隐藏存储的星鸦。第一个rp和第二个rp的探索行为之间平衡：
$${\vec{X}}_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}\text{Eq.(12),}& \text{if f(Eq.(12))<f(Eq.(14))}\\ \text{Eq.(14),}& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$
缓存搜索阶段与回收阶段的交换按照下式进行，以保持勘探与开采的平衡:
$${\vec{X}}_i^{t+1}=\{\begin{array}{l}Eq.(16),if\varphi >P_{a_2}\\ Eq.(17),otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(16)}$$

伪代码

3.结果展示

使用测试框架，测试NOA性能 一键run.m

• 【智能算法】省时方便，智能算法统计指标——一键运行~

CEC2017-F13

4.参考文献

[1] Abdel-Basset M, Mohamed R, Jameel M, et al. Nutcracker optimizer: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm for global optimization and engineering design problems[J]. Knowledge-Based Systems, 2023, 262: 110248.