【动态规划状态机dp 性能优化】3098. 求出所有子序列的能量和

本文涉及知识点

LeetCode3098. 求出所有子序列的能量和

给你一个长度为 n 的整数数组 nums 和一个正整数 k 。
一个子序列的能量定义为子序列中任意两个元素的差值绝对值的最小值。
请你返回 nums 中长度等于 k 的所有子序列的能量和。
由于答案可能会很大，将答案对 109 + 7 取余后返回。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4], k = 3
输出：4
解释：
nums 中总共有 4 个长度为 3 的子序列：[1,2,3] ，[1,3,4] ，[1,2,4] 和 [2,3,4] 。能量和为 |2 - 3| + |3 - 4| + |2 - 1| + |3 - 4| = 4 。
示例 2：
输入：nums = [2,2], k = 2
输出：0
解释：
nums 中唯一一个长度为 2 的子序列是 [2,2] 。能量和为 |2 - 2| = 0 。
示例 3：
输入：nums = [4,3,-1], k = 2
输出：10
解释：
nums 总共有 3 个长度为 2 的子序列：[4,3] ，[4,-1] 和 [3,-1] 。能量和为 |4 - 3| + |4 - (-1)| + |3 - (-1)| = 10 。

提示：
2 <= n == nums.length <= 50
-10⁸ <= nums[i] <= 10⁸
2 <= k <= n

动态规划（状态机dp)初版

动态规划的状态表示

pre 表示已经处理完前x个数组符合条件的数量,dp表示已经处理完x+1数组符合条件的数量。

pre[i][j][end][len] 表示此子序列：
a，长度为len。
b,以nums[end]结束。
c,nums[j]-nums[i]的差最小。如果多个(i,j)符合条件，取最小的。比如：{1,2,3}的(I,j)是{0,1}而不是{1,2}。
空间复杂度：O(nnnk)
dp类似。

动态规划的转移方程

只需要从x 推导x+1，不需要推导x+2,x+3 $\cdots$ ，如果硬要的话需要用前缀和（后缀和）。　
$\begin{cases} dp = pre && 不选择nums[x] \\ dp[i][j][x][len+1] += ... && else 且 nums[j]-nums[i] <= nums[x]-nums[end] \\ dp[end][x][x][len+1] += ... else \\ \end{cases}$
时间复杂度：O(nnnkn) 估计超时
剪枝：
枚举的时候确保 i < j ，且 j <= x。

动态规划+前缀和

拆分成若干个子问题，假定序列存在(i,j)，且此序列的能力为power = nums[j]-nums[i]。

动态规划的状态表示

dp[len][end] 表示子序列的长度为len，最后一个元素是end。
空间复杂度：O(kn)

利用前缀和优化动态规划的转移方程

枚举end，end not $\in$ (i,j) ，否则此序列的能量就不是nums[j]-nums[i]了。
$\begin{cases} oldEnd \in [0,end)且nums[end] -nums[oldEnd] > power && end <= i \\ oedEnd \in (end,n) 且 nums[end] -nums[oldEnd] >= power && end >=j \\ \end{cases}$

如果不利用前缀和优先，时间复杂度：O(knn)，利用前缀和优化O(kn)。
总时间复杂度：O(knkn)。

动态规划的初始状态

枚举所有长度为2

动态规划的填表顺序

$_{len=3}^{n}$

动态规划的返回值

len == k 且 end >=j 才是需要统计的子序列数量。

代码

没用前缀和优化

理论上过不了，实际过了。

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int sumOfPowers(vector<int>& nums, const int K) {m_c = nums.size();sort(nums.begin(), nums.end());		C1097Int<> biRet = 0;for (int i = 0; i < m_c; i++) {for (int j = i + 1; j < m_c; j++) {auto cur = Do(nums, i, j, K);biRet += cur;//std::cout << " i :" << i << " j:" << j << " " << cur.ToInt() <<  std::endl;}}return biRet.ToInt();}C1097Int<> Do(const vector<int>& nums,int i,int j, const int K) {const int iDiff = nums[j] - nums[i];vector<vector<C1097Int<>>> dp(K + 1, vector<C1097Int<>>(m_c));for (int end = 0; end <= i; end++) {for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) {dp[2][end] += 1;}}}dp[2][j] = 1;for (int len = 3; len <= K; len++) {for (int end = 0; end <= i; end++) {for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) {dp[len][end] += dp[len - 1][end1];}}}dp[len][j] = dp[len - 1][i];for (int end = j+1; end < m_c; end++) {for (int end1 = j; end1 < end; end1++) {if (nums[end] - nums[end1] >= iDiff) {dp[len][end] += dp[len - 1][end1];}}}}return std::accumulate(dp.back().begin() + j, dp.back().end(), C1097Int<>())*iDiff;}int m_c;
};

测试用例

int main()
{vector<int> nums;int k;{Solution sln;nums = { 6,14,4,13 }, k = 3;auto res = sln.sumOfPowers(nums, k);Assert(6, res);}{Solution sln;nums = { 1,2,3,4 }, k = 3;auto res = sln.sumOfPowers(nums, k);Assert(4, res);}{Solution sln;nums = { 4,3,-1 }, k = 2;auto res = sln.sumOfPowers(nums, k);Assert(10, res);}{Solution sln;nums = { 2,2 }, k = 2;auto res = sln.sumOfPowers(nums, k);Assert(0, res);}{Solution sln;nums = { 2,246006,496910,752786,1013762,1279948,1551454,1828436,2110982,2399316,2693558,2993942,3300640,3613766,3933442,4259696,4592656,4932556,5279494,5633522,5994678,6363102,6739028,7122528,7513792,7913044,8320394,8736004,9160062,9592750,10034184,10484602,10944108,11412852,11891048,12378822,12876346,13383746,13901098,14428528,14966126,15514010,16072380,16641300,17220904,17811360,18412850,19025600,19649778,20285440 }, k = 37;auto res = sln.sumOfPowers(nums, k);Assert(273504325, res);}
}

利用前缀和优化：用时减少不到50%

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int sumOfPowers(vector<int>& nums, const int K) {m_c = nums.size();sort(nums.begin(), nums.end());C1097Int<> biRet = 0;for (int i = 0; i < m_c; i++) {for (int j = i + 1; j < m_c; j++) {auto cur = Do(nums, i, j, K);biRet += cur;//std::cout << " i :" << i << " j:" << j << " " << cur.ToInt() <<  std::endl;}}return biRet.ToInt();}C1097Int<> Do(const vector<int>& nums, int i, int j, const int K) {const int iDiff = nums[j] - nums[i];vector<vector<C1097Int<>>> dp(K + 1, vector<C1097Int<>>(m_c));for (int end = 0; end <= i; end++) {for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {if (nums[end] - nums[end1] > iDiff) {dp[2][end] += 1;}}}dp[2][j] = 1;for (int len = 3; len <= K; len++) {int end1 = 0;C1097Int<> biRet = 0;for (int end = 0; end <= i; end++) {while ((end1 < end) && (nums[end] - nums[end1] > iDiff)) {biRet += dp[len - 1][end1];end1++;}dp[len ][end] = biRet;}dp[len][j] = dp[len - 1][i];C1097Int<> biRet2 = 0;for (int end = j + 1,end1=j ; end < m_c; end++) {while ((end1 < end) && (nums[end] - nums[end1] >= iDiff)) {biRet2 += dp[len - 1][end1];end1++;}dp[len][end] = biRet2;}}return std::accumulate(dp.back().begin() + j, dp.back().end(), C1097Int<>()) * iDiff;}int m_c;
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。