自我介绍

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交叉熵损失函数+sigmoid激活函数的链式求导

如果损失函数是交叉熵损失（entropy loss），通常用于分类任务中评估模型的输出与实际标签之间的差异。假设我们处理的是一个二分类问题，使用的输出层激活函数是sigmoid函数，那么交叉熵损失函数可以表达为：

交叉熵损失函数

对于一个给定的样本，交叉熵损失定义为：
$$L=-\left(y\log (\hat{y})+(1-y)\log (1-\hat{y})\right)$$
其中 $$y$$ 是实际的标签，$$\hat{y}$$ 是模型的预测概率，这里 $$\hat{y}=\sigma (\mathbf{z})$$，且 $$\mathbf{z}$$ 是隐藏层通过激活函数之前的线性输出。

链式求导

为了应用链式求导，我们首先计算 $$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}}$$：
$$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}}=-\left(\frac{y}{\hat{y}}-\frac{1-y}{1-\hat{y}}\right)$$

然后，考虑 $$\hat{y}=\sigma (\mathbf{z})$$，其导数 $${\sigma }^{\prime }(z)=\sigma (z)(1-\sigma (z))$$，所以我们有：
$$\frac{\partial \hat{y}}{\partial \mathbf{z}}=\sigma (\mathbf{z})(1-\sigma (\mathbf{z}))=\hat{y}(1-\hat{y})$$

现在，利用链式法则计算 $$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{z}}$$：
$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{z}}=\frac{\partial L}{\partial \hat{y}}\cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial \mathbf{z}}=\left(-\frac{y}{\hat{y}}+\frac{1-y}{1-\hat{y}}\right)\cdot \hat{y}(1-\hat{y})$$
简化上式，我们得到：
$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{z}}=-y(1-\hat{y})+(1-y)\hat{y}=\hat{y}-y$$

最终，根据 $$\mathbf{z}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}$$，我们得到权重 $$\mathbf{W}$$ 和偏置 $$\mathbf{b}$$ 的梯度：
$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{W}}=(\hat{y}-y){\mathbf{x}}^T$$
$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{b}}=\hat{y}-y$$

总结

这种方式提供了更新权重 $\mathbf{W}$ 和偏置 $\mathbf{b}$ 的直接方法，适用于通过梯度下降方法优化二分类问题的神经网络模型。这种推导清楚地显示了从损失函数到模型权重的依赖关系，也是反向传播算法中的关键步骤。