变换

一维FFT的基本概念

FFT基于复数运算。对于任意一维信号（在这里是图像的一行或一列），假设有 (N) 个数据点，一维FFT的目标是将这些点从时间域（或空间域）转换到频域。一维FFT的结果也是一个长度为 (N) 的序列，表示不同频率成分的复数幅度。

一维离散傅里叶变换（DFT）的定义为：
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}}$$
其中，

• (X[k]) 是频域中的第 (k) 个成分，
• (x[n]) 是时域中的第 (n) 个样本，
• (N) 是样本总数，
• (i) 是虚数单位。

对图像行的FFT

对于352x288的图像，首先对每行（共288行）进行FFT：

1. 对于每一行，我们有352个数据点。应用上述DFT公式，为每个频率 (k) （从0到351），计算该频率的复数幅度：
   $$X[k]=\sum _{n=0}^{351}x[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{352}}$$

2. 这个计算为每一行生成一个新的352个元素的行，这些元素现在表示原始数据在频域中的复数表示。

对图像列的FFT

完成所有行的变换后，每列（现在是转换后的352个频域数据）也要进行FFT：

1. 对于每一列，同样应用DFT公式，但这次是对每个列的288个数据点进行变换。这为每个频率 (k) （从0到287）计算复数幅度：
   $$Y[k]=\sum _{m=0}^{287}X[m]\cdot e^{-i2\pi \frac{km}{288}}$$

2. 这个计算为每一列生成一个新的288个元素的列，这些元素代表了该列的频域数据。

结果的解释

经过上述两次FFT（先行后列），我们得到一个新的352x288的复数矩阵，其中的每个元素 (Y[j][k]) 都代表了原图像在特定频率上的复数幅度。这个矩阵展示了图像的频域特性，其幅值和相位分别反映了频率成分的强度和相位信息。

应用

这个频域矩阵可以用来进行图像的频域分析和处理，比如滤波、压缩等。通过修改这个矩阵中的特定元素，然后应用逆FFT，我们可以实现对原始图像的各种修改和改进。

逆变换

逆离散傅里叶变换（IDFT）

逆离散傅里叶变换（IDFT）是离散傅里叶变换（DFT）的逆操作，用于将数据从频域转换回空间域。对于一个经过DFT得到的频域矩阵，其IDFT公式定义如下：

$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i2\pi \frac{kn}{N}}$$

其中：

• (x[n]) 是空间域中的第 (n) 个样本（或像素值），
• (X[k]) 是频域中的第 (k) 个成分，
• (N) 是样本总数（在图像中即为像素数），
• (i) 是虚数单位。

逆FFT操作的步骤

对于一个352x288的图像，其频域矩阵同样为352x288。逆FFT操作首先对频域矩阵的每一列执行一维逆FFT，然后对每一行执行一维逆FFT。以下是详细步骤：

1. 对每一列执行一维逆FFT：

   • 对于矩阵中的每一列（共352列），应用上述IDFT公式。对于列 (m)，第 (n) 个元素的计算为：
     $$x[m][n]=\frac{1}{288}\sum _{k=0}^{287}X[m][k]\cdot e^{i2\pi \frac{kn}{288}}$$

2. 对每一行执行一维逆FFT：

   • 对于经过列变换后得到的每一行（共288行），再次应用IDFT公式。对于行 (n)，第 (m) 个元素的计算为：
     $$x[n][m]=\frac{1}{352}\sum _{j=0}^{351}x[n][j]\cdot e^{i2\pi \frac{jm}{352}}$$

结果与应用

通过以上步骤，我们得到了一个新的352x288的空间域图像矩阵，该矩阵反映了所有在频域进行的修改。这允许我们实现图像的修复、重建或其他形式的处理，从而得到改善或具有特定特征的图像。