【算法刷题 | 动态规划01】5.01(动态规划理论基础、斐波那契数、爬楼梯、使用最小花费爬楼梯)

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文章目录

  • 1.动态规划理论基础
  • 2.斐波那契数
    • 2.1题目
    • 2.2解法:动态规划
      • 2.2.1动态规划思路
        • (1)确定dp数组以及下标的含义
        • (2)确定递推公式
        • (3)dp数组初始化
        • (4)确定遍历顺序
        • (5)举例推导dp数组
      • 2.2.2代码实现
  • 3.爬楼梯
    • 3.1题目
    • 3.2解法:动规
      • 3.2.1动规思路
        • (1)确定dp数组以及下标的含义
        • (2)确定递推公式
        • (3)dp数组初始化
        • (4)确定遍历顺序
        • (5)举例推导dp数组
      • 3.2.2代码实现
  • 4.使用最小花费爬楼梯
    • 4.1题目
    • 4.2解法:动规
      • 4.2.1动规思路
        • (1)确定dp数组以及下标的含义
        • (2)确定递推公式
        • (3)dp数组初始化
        • (4)确定遍历顺序
        • (5)举例推导dp数组
      • 4.2.2代码实现

1.动态规划理论基础

1.1题目分类大纲

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1.2什么是动态规划

  • 动态规划,英文:Dynamic Programming,简称DP,如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。
  • 所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的,

1.3背包问题

  • 例如:有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

  • 动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的,然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

但如果是贪心呢,每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了,和上一个状态没有关系

所以贪心解决不了动态规划的问题。

1.4解题步骤

动态规划问题拆解为如下五部曲:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

1.5动态规划应该如何debug?

  • 找问题的最好方式就是把dp数组打印出来,看看究竟是不是按照自己思路推导的!

  • 做动规的题目,写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍,心中有数,确定最后推出的是想要的结果

  • 若出现代码错误,可以先思考以下三个问题:

    • 这道题目我举例推导状态转移公式了么?
    • 我打印dp数组的日志了么?
    • 打印出来了dp数组和我想的一样么?

2.斐波那契数

2.1题目

斐波那契数 (通常用 F(n) 表示)形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 01 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:

F(0) = 0,F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1

给定 n ,请计算 F(n)

  • 示例一:
输入:n = 2
输出:1
解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
  • 示例二:
输入:n = 3
输出:2
解释:F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
  • 示例三:
输入:n = 4
输出:3
解释:F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

2.2解法:动态规划

2.2.1动态规划思路

动规五部曲:

(1)确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]

(2)确定递推公式

题目已经把递推公式直接给我们了:状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

(3)dp数组初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了,如下:

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
(4)确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

(5)举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],我们来推导一下,当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

2.2.2代码实现

	public int fib(int n) {if(n<=1){return n;}//1、确定dp数组以及下标含义,下标n的元素代表了数字n的斐波那契数int[] dp=new int[n+1];//3、dp数组初始化dp[0]=0;dp[1]=1;//4、确定遍历顺序(注意:要到数字n)for(int i=2;i<=n;i++){//2、确定递归公式dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}

3.爬楼梯

3.1题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 12 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

  • 示例一:
输入:n = 2
输出:2
解释:有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
  • 示例二:
输入:n = 3
输出:3
解释:有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

3.2解法:动规

3.2.1动规思路

动规五部曲:

(1)确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为:第i层楼梯一共有dp[i]种方法

(2)确定递推公式

爬到第i层楼梯一共有两种情况:

  • 从第(i-1)层楼梯爬一个台阶
  • 从第(i-2)层楼梯爬二个台阶

故此,dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

(3)dp数组初始化
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
(4)确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

(5)举例推导dp数组

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3.2.2代码实现

	public int climbStairs(int n) {if(n<=1){return n;}int[] dp=new int[n+1];dp[1]=1;dp[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}

4.使用最小花费爬楼梯

4.1题目

给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

  • 示例一:
输入:cost = [10,15,20]
输出:15
解释:你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 15 。
  • 示例二:
输入:cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出:6
解释:你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

4.2解法:动规

4.2.1动规思路

(1)确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为:爬到第i层楼梯的最低花费

(2)确定递推公式

爬到第i层楼梯一共有两种情况:

  • 从第(i-1)层楼梯爬一个台阶,花费第[i-1]层楼梯的代价
  • 从第(i-2)层楼梯爬二个台阶,花费第[i-2]层楼梯的代价1

故此,dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1] , dp[i-2]+cost[i-2])

(3)dp数组初始化

新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的,但从 第0 个台阶 往上跳的话,需要花费 cost[0]。

所以初始化 dp[0] = 0,dp[1] = 0;

dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
(4)确定遍历顺序

因为是模拟台阶,而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出,所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

但是稍稍有点难度的动态规划,其遍历顺序并不容易确定下来。 例如:01背包,都知道两个for循环,一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量,那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢? 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢?

(5)举例推导dp数组

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4.2.2代码实现

	public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int len=cost.length;int[] dp=new int[len+1];    //注意楼顶是数组最后一个元素的下一个dp[0]=0;dp[1]=0;for(int i=2;i<=len;i++){dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1] , dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[len];}

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