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前一章里面我们已经证明了对任意的整数$a,b$，存在整数$x,y$，使得其满足$gcd(a,b)=ax+by$
从这一条们们可以扩展得到:
设$a,b$是不全为0的整数，$gcd(a,b)=1$当且仅当存在整数$x,y$使得$ax+by=1$。
必要性：$gcd(a,b)=ax+by$的特例
充分性：当存在整数$x,y$使得$ax+by=1$时，根据整除性质知道$gcd(a,b)|ax+by\to gcd(a,b)|1$，所以$gcd(a,b)=1$

($gcd(a,b)|ax+by:a=gcd(a,b)r,b=gcd(a,b)y;ax+by=gcd(a,b)(rx+ky)\to gcd(a,b)|ax+by$)

性质：对于不为0的数$a,b,c$

1.若$c|ab,gcd(a,c)=1$，那么$c|b$
证：因为$gcd(a,c)=1$，所以存在关系$ax+cy=1$，两边乘以$b$得到$abx+cby=b\to c|(abx+cby)$，所以$c|b$

2.若$a|c,b|c,gcd(a,b)=1$，则$ab|c$
证：同理$ax+by=1\to acx+bcy=c$，由于$a|c$，所以$ab|bcy$;$b|c$，所以$ab|acx$。所以$ab|(acx+bcy)=c$

3.若$gcd(a,c)=1,gcd(b,c)=1$，那么$gcd(ab,c)=1$
证：$ax+cy=1;br+ck=1$两个等式乘起来得到$tab+qc=1$。系数$t,q$我就不计算了，直接乘起来合并就得到了。

思考:$gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)$
提示：分别证$gcd(a,b,c)|gcd(gcd(a,b),c)$和$gcd(gcd(a,b),c)|gcd(a,b,c)$