图论中的模板

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有向图的拓扑排序

//有向图无环图中才有拓扑排序，且都是前面的编号的点指向后面编号的点
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 9;
int e[N], ne[N], h[N], idx, n, m, d[N], q[N];void add(int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}bool topsort()
{int hh = 0, tt = -1;//将所有入度为0的点入队，编号从1~nfor (int i = 1; i <= n; ++i) if (!d[i]) q[++tt] = i;while (hh <= tt){int t = q[hh++];//出队for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];d[j]--;//因为t指向j，又因为t删除了，所以j入度减一if (!d[j]) q[++tt] = j;}}return tt == (n - 1);//如果每个点都入队了表明为拓扑排序
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);memset(h, -1, sizeof h);cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; ++i){int a, b; cin >> a >> b;add(a, b);d[b]++;//入度加一}//队列中的顺序刚好就是拓扑排序，排序不唯一if (topsort()) for (int i = 0; i < n; ++i) cout << q[i] << " ";else cout << -1;return 0;
}

dijkstra求最短路

//dijkstra堆优化
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 9;
typedef pair<int, int> PII;
int h[N], e[N], ne[N], idx, n, m, dist[N], w[N];
bool st[N];void add(int x, int y, int z)
{e[idx] = y, w[idx] = z, ne[idx] = h[x], h[x] = idx++;
}int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;//first是距离。second是编号//小根堆//有更改就加入//可能加入的点会有冗余，比如1号点一个是10,一个是15，所以用一个st[]数组来标记priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({ 0, 1 });while (heap.size()){//每次取出距离最小的点auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.second, distance = t.first;//不更新也对，不过会有很多冗余情况考虑//同一个顶点x，可能在队列中有(dis1, x)、(dis2, x)存在//而dis1 < dis2，所以(dis1, x)先出队并更新x的邻接顶点//当(dis2, x)出队的时候，由于dis2 > dis1//所以x的邻接顶点此时都不会更新，那么(dis2, x)这一步也就冗余了if (st[ver]) continue;//如果距离已经确定，则跳过该点st[ver] = true;for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({ dist[j], j });}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);memset(h, -1, sizeof h);cin >> n >> m;while (m--){int x, y, z; cin >> x >> y >> z;add(x, y, z);}cout << dijkstra();return 0;
}

有边数限制的最短路

//bellman_ford()算法
//dijkstra()不能解决负权边最短路问题
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 510, M = 1e4 + 9;
//back[]存储上一次的dist[]
int dist[N], back[N], n, m, k;struct Edge
{int a, b, w;
} edges[M];int  bellman_ford()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;//存在边数限制，只能用bellman_ford做//关于为什么循环k次可以保证得到的dist就是相应k条件下的值？//当明白了备份的作用，就能理解了//备份的意义就是保证了每条边a->b在每次刷新时a都是独立的//在遍历过程中dist不会受其他点的影响，只和a上一次的值有关//而这个备份的操作就是放在k循环下的，所以得到的dist就是相应k条件下的值for (int i = 0; i < k; ++i){//做备份//防止发生串联//串联：由于这个算法的特性决定，//每次更新得到的必然是在多考虑 1 条边之后能得到的全局的最短路//而串联指的是一次更新之后考虑了不止一条边：由于使用了松弛//某节点的当前最短路依赖于其所有入度的节点的最短路//假如在代码中使用dist[e.b]=min(dist[e.b],dist[e.a] + e.c)//我们无法保证dist[e.a]是否也在本次循环中被更新，如果被更新了//并且dist[e.b] > dist[e.a] + e.c//那么会造成当前节点在事实上“即考虑了一条从某个节点指向a的边//也考虑了a->b”，共两条边//而使用dist[e.b]=min(dist[e.b],last[e.a] + e.c)//可以保证a在dist更新后不影响对b的判定，因为后者使用last数组//保存着上一次循环中的dist的值memcpy(back, dist, sizeof dist);for (int j = 0; j < m; ++j){int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;dist[b] = min(dist[b], back[a] + w);}}//因为可能存在到n的路径中有负权边存在， 所以导致dist[n]的值小于0x3f3f3f3f//根据题目给的数据范围最多减去500*10000，也就是500w的值，所以大于一半就好//注意不要返回-1，因为-1可能就是dist[n]的距离if (dist[n] > 0x3f3f3f3f >> 1) return -0x3f3f3f3f;return dist[n];
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n >> m >> k;for (int i = 0; i < m; ++i){int x, y, z; cin >> x >> y >> z;edges[i].a = x, edges[i].b = y, edges[i].w = z;}int t = bellman_ford();if (t == -0x3f3f3f3f) cout << "impossible";else cout << dist[n];return 0;
}

spfa求最短路

//spfa
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 9;
int h[N], e[N], ne[N], st[N], n, m, idx, w[N], dist[N];void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}int spfa()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;queue<int> q;//存储待更新点q.push(1);st[1] = true;while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();st[t] = false;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];if (!st[j]){q.push(j);st[j] = true;}}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -0x3f3f3f3f;return dist[n];
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);memset(h, -1, sizeof h);cin >> n >> m;while (m--){int x, y, z; cin >> x >> y >> z;add(x, y, z);}int t = spfa();if (t == -0x3f3f3f3f) cout << "impossible";else cout << t;return 0;
}

spfa判负环

//spfa判断负环
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 9;
//cnt[]存储点最短路径的边数
int e[N], ne[N], h[N], w[N], dist[N], cnt[N], idx, n, m;void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}bool spfa()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);queue<int> q;//注意这里是讲所有点都入队，因为负环可能不在1号点这个路径上//这里dist初不初始化都行，但要是求单点到单点路径上是否存在回路，必须初始化dist//且dist[s] = 0for (int i = 1; i <= n; ++i) q.push(i);while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];cnt[j] = cnt[t] + 1;//边数 >= n，点数 >= n + 1，存在回路if (cnt[j] >= n) return true;q.push(j);}}}return false;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);memset(h, -1, sizeof h);cin >> n >> m;while (m--){int x, y, z; cin >> x >> y >> z;add(x, y, z);}if (spfa()) cout << "Yes";else cout << "No";return 0;
}

多源汇最短路问题-具有多个源点：Floyd求最短路

//Floyd求多源汇最短路
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 1e9;
int n, m, Q, d[N][N];void floyd()
{for (int k = 1; k <= n; ++k){for (int i = 1; i <= n; ++i){for (int j = 1; j <= n; ++j){d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);}}}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n >> m >> Q;for (int i = 1; i <= n; ++i){for (int j = 1; j <= n; ++j){if (i == j) d[i][j] = 0;else d[i][j] = INF;}}while (m--){int a, b, z; cin >> a >> b >> z;d[a][b] = min(d[a][b], z);//选一个最短的重边}floyd();while (Q--){int a, b; cin >> a >> b;//因为存在负权边，所以ab之间的距离可能小于无穷if (d[a][b] > INF / 2) cout << "impossible" << '\n';else cout << d[a][b] << '\n';}return 0;
}

Kruskal算法求最小生成树

//kruskal求最小生成树
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 9;struct Edge
{int a, b, w;bool operator< (const Edge& W) const{return w < W.w;}
} edges[N];int n, m, p[N], res, cnt;int find(int x)
{if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; ++i){int a, b, w; cin >> a >> b >> w;edges[i] = { a, b, w };}//从小到大排序sort(edges, edges + m);//并查集数组初始化for (int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;//如果这个边与之前选择的所有边不会组成回路，就选择这条边分；反之，舍去。//判断是否会产生回路的方法为：使用并查集。//每次将未加入的边加入到集合中去for (int i = 0; i < m; ++i){int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;//不在一个集合里面a = find(a), b = find(b);if (a != b){res += w;cnt++;p[a] = b;//加入集合}}//如果集合中的边数小于n - 1，说明不存在最小生成树if (cnt < n - 1) cout << "impossible";else cout << res;return 0;
}

判定是否是二分图

#include<iostream>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 100010;int f[N];
int e[N*2],h[N],ne[N*2],idx;
//数组模拟邻接表模板
void add(int a,int b)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
//并查集find函数模板：找到祖宗节点
int find(int x)
{if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);return f[x];
}int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);memset(h,-1,sizeof h);//并查集初始化for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;while(m--){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);add(a,b);add(b,a);}//遍历每一个点for(int u=1;u<=n;u++){//遍历当前点的邻接点for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){int j=e[i];//如果邻接点和当前节点属于同一集合，不满足二分，直接NOif(find(j)==find(u)){puts("No");return 0;}//将所有邻接点合并到同一个集合f[find(e[h[u]])]=find(j);}}puts("Yes");return 0;
}

二分图的最大匹配

//二分图的最大匹配
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 510, M = 1e5 + 9;
int h[N], e[M], ne[M], n1, n2, match[N], m, idx, res;
bool st[N];void add(int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}bool find(int x)
{for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];//没被遍历过if (!st[j]){//标记为匹配过st[j] = true;//如果这个姑娘还没有被匹配过，或者找到这个男生喜欢别的姑娘if (match[j] == 0 || find(match[j])){match[j] = x;return true;}}}return false;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);memset(h, -1, sizeof h);cin >> n1 >> n2 >> m;while (m--){int a, b; cin >> a >> b;//不需要存双向边add(a, b);}for (int i = 1; i <= n1; ++i){//每次将姑娘全初始化为没有遍历，因为之前别人喜欢的姑娘我也可能喜欢memset(st, false, sizeof st);if (find(i)) res++;//如果找到数量就加一}cout << res;return 0;
}

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