要理解矩阵乘以向量如何“将空间进行了扭曲”，我们可以从 线性变换 的角度来深入分析。矩阵乘以向量的运算本质上是将一个向量从一个空间映射到另一个空间，这种映射过程可以改变向量的 方向 和 长度，从而实现对空间的“扭曲”或“变换”。
1. 矩阵乘以向量是一种线性变换
矩阵乘以向量的运算 c=Ab 可以看作是一种 线性变换，它将输入向量 b 映射为输出向量 c。这种变换具有以下性质：
- 线性性：满足加法和数乘的线性性质，即 A(b1+b2)=Ab1+Ab2 和 A(kb)=k(Ab)。
- 保持原点：线性变换不会改变原点（零向量）的位置。
2. 线性变换如何扭曲空间
矩阵 A 的每一行都可以看作是一个 基向量，矩阵乘以向量的过程实际上是将输入向量 b 在矩阵 A 的基向量上进行重新组合，从而得到输出向量 c。这种重新组合会改变向量的方向、长度，甚至整个空间的结构。以下是一些具体的扭曲效果：
（1）缩放（Scaling）
如果矩阵 A 是一个对角矩阵，例如：
A=[2003]
那么矩阵乘以向量 b=(x,y) 的结果是：
c=Ab=(2x,3y)
这意味着向量在 x-方向上被放大了 2 倍，在 y-方向上被放大了 3 倍。整个空间在 x-和 y-方向上被拉伸或压缩。
（2）旋转（Rotation）
如果矩阵 A 是一个旋转矩阵，例如：
A=[cosθsinθ−sinθcosθ]
那么矩阵乘以向量 b=(x,y) 的结果是：
c=Ab=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)
这意味着向量 b 被旋转了角度 θ，整个空间也随之旋转。
（3）剪切（Shear）
如果矩阵 A 是一个剪切矩阵，例如：
A=[1011]
那么矩阵乘以向量 b=(x,y) 的结果是：
c=Ab=(x+y,y)
这意味着向量在 x-方向上被剪切，整个空间被倾斜。
（4）投影（Projection）
如果矩阵 A 是一个投影矩阵，例如：
A=[1000]
那么矩阵乘以向量 b=(x,y) 的结果是：
c=Ab=(x,0)
这意味着向量被投影到 x-轴上，整个空间被压缩到一个维度。
3. 矩阵乘以向量的几何意义
矩阵乘以向量的几何意义可以通过以下方式理解：
- 基向量的变换：矩阵 A 的每一列代表变换后的基向量。矩阵乘以向量的过程，就是将输入向量 b 在新的基向量上进行重新组合。
- 空间的扭曲：矩阵 A 定义了空间中的一种变换规则，它将输入空间中的向量映射到输出空间中，从而改变空间的结构。
4. 实际应用中的空间扭曲
矩阵乘以向量的运算在以下领域中有广泛应用，其核心思想都是通过线性变换对空间进行扭曲或映射：
- 计算机图形学：用于实现图形的旋转、缩放、投影等变换。
- 机器学习：在神经网络中，矩阵乘以向量用于将输入数据映射到隐藏空间。
- 物理学：用于描述力的分解、坐标系的变换等。
5. 总结
矩阵乘以向量的运算 c=Ab 是一种 线性变换，它通过矩阵 A 定义的规则，将输入向量 b 从一个空间映射到另一个空间。这种映射可以改变向量的 方向 和 长度，从而实现对空间的 扭曲 或 变换。通过理解矩阵的几何意义（如缩放、旋转、剪切、投影等），我们可以更直观地理解矩阵乘以向量如何对空间进行扭曲。
