【线性代数】2矩阵

1.矩阵的运算

1.1.定义

矩阵	行列式
数表	数
$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&0&1\end{pmatrix}$	$\|B\|=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}$
行数和列数可以不相等	行数和列数必须相等

1.2.加法与数乘

矩阵的数乘：所有元素都乘这个数

矩阵的加法：对应位置处元素相加

🦊已知 $A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\mathrm{,}B= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ ，求 $3A+B.$

$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 1& -1\\0& 1& 1\end{array}\right)$ $3A=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& -3\\6& 0& 3\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\3& 0& 2\end{array}\right)$

$3A+B=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& -3\\6& 0& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\3& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& -4\\9& 0& 5\end{array}\right)$

1.3.乘法

矩阵乘法三步法 $A_{m\times n},B_{n\times k}$

① $AB$ 能不能乘：内定乘

② $AB$ 乘完是何类型：外定型

③ $AB$ 中的元素是什么：左出行，右出列

🦊已知 $A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix},B= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，求 $AB.$

由于 $A$ 是两行三列的矩阵， $B$ 是三行两列的矩阵。所以 $AB$ 是两行两列的矩阵。

$\begin{aligned} \mathrm{AB} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0\times1+1\times0+2\times1 & 0\times1+1\times1+2\times0 \\ 2\times1+0\times0+3\times1 & 2\times1+0\times1+3\times0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$

1.4.转置

$A^T:$ 矩阵 $A$ 的转置，就是将矩阵 $A$ 行列互换后得到的矩阵。

$\left|A^T\right|=\left|A\right|$

🦊已知矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&3&2\end{pmatrix}$ ，求矩阵 $A$ 的转置 $A^T.$

矩阵 $A$ 为两行三列的矩阵， $A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&3&2\end{pmatrix}$

矩阵 $A^T$ 为三行两列的矩阵， $A^T= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

1.5.方阵的行列式

方阵行列式的公式：

$|kA|=k^n\left|A\right|$

$\left|A\boldsymbol{B}\right|=\left|\boldsymbol{B}A\right|=\left|A\right|\left|\boldsymbol{B}\right|$

🦊设 $A,B$ 为四阶方阵，且 $|A|=3$ ，且 $|3B|=81$ ， $|AB|=$ ________.

$|3B| = 3^4 |B|\\ |3B| = 81 |B| = 81\\ |B| = 1 \\|A| = 3\\ |AB| = |A| |B| = 3\times 1 = 3$

🦊设 $A,B$ 为三阶方阵，且 $|A|=-3,|B|=2,$ 则 $|2A^TB|=$ ________.

根据公式 $|kA|=k^n|A|$ 可得 $|2A^TB|=8|A^TB|$ 。

根据公式 $|AB|=|A||B|,|A^T|=|A|$ 可得 $|A^TB|=|A||B|$ 。

所以 $|2A^TB|=8|A||B|=8\times (-3)\times2=-48$

2.矩阵的求逆

逆矩阵就相当于矩阵的“倒数”，对于一个方阵(行数和列数相等的矩阵) $A$ ，如果存在另一个矩阵 $B$ ，使得 $A$ 乘以 $B$ 等于单位矩阵 $E$ (单位矩阵就像数字中的 $1$ ，主对角线上都是 $1$ ，其他位置都是 $0$ )，那么 $B$ 就是 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$ 。