内容来源
应用随机过程（第五版）张波 商豪 邓军 编著

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定义

随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn​} 称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn​} 的下鞅，如果

对 $n⩾0$，$X_n$ 是 $Y_0,Y_1,\cdots ,Y_n$ 的函数

且

E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) ⩾ X n E ( X n + ) < ∞ , X n + = max ⁡ { 0 , X n } E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)\geqslant X_n\\ E(X^+_n)<\infty,\ X^+_n=\max\{0,X_n\} E(Xn+1​∣Y0​,Y1​,⋯,Yn​)⩾Xn​E(Xn+​)<∞, Xn+​=max{0,Xn​}

随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn​} 称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn​} 的上鞅，如果

对 $n⩾0$，$X_n$ 是 $Y_0,Y_1,\cdots ,Y_n$ 的函数

且

E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) ⩽ X n E ( X n − ) < ∞ , X n − = max ⁡ { 0 , − X n } E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)\leqslant X_n\\ E(X^-_n)<\infty,\ X^-_n=\max\{0,-X_n\} E(Xn+1​∣Y0​,Y1​,⋯,Yn​)⩽Xn​E(Xn−​)<∞, Xn−​=max{0,−Xn​}

若 { X n } \{X_n\} {Xn​} 兼为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn​} 的下鞅与上鞅，则称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn​} 的鞅

此时

$$E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots ,Y_n)=X_n$$

$\sigma$ 代数的鞅

设 { F n } \{\mathscr{F}_n\} {Fn​} 是一个 $\mathcal{F}$ 中单调递增的子 $\sigma$ 代数流

称随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn​} 是关于 ${\mathcal{F}}_n$ 的鞅，如果

$X_n$ 是 ${\mathcal{F}}_n$ 适应的

$$E(|X_n|)<\infty$$

并且 $\forall n>0$，有

$$E(X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=X_n$$

适应列 { X n , F n } \{X_{n},\mathscr{F}_n\} {Xn​,Fn​} 称为下鞅，如果

$$E(X_n^{+})<\infty 且E(X_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)⩾X_n$$

上鞅定义类似