高等数学学习笔记 ☞ 定积分的定义与性质

1. 定积分的定义

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界。在闭区间 $[a,b]$ 上任意插入若干个分点，即 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n-1}<x_{n}=b$ ，

此时每个小区间的长度记作 $\Delta x_{i}$ (不一定是等分的)。然后在每个小区间上任意取 $\xi_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ ，对应的函数值为 $f(\xi _{i})$ 。

为保证每段 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 的值(即矩形面积)无限接近于函数 $f(x)$ 与该区间段所围成的面积，设 $\lambda =\max(\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n})$ 。

若 $\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 存在，且该极限与小区间的分法和 $\xi_{i}$ 的取法无关，那么称 $\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的

定积分，记作 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。

其中： $[a,b]$ ：积分区间。 $a$ ：积分下限。 $b$ ：积分上限。其中积分下限与积分上限无大小关系。

$f(x)$ ：被积函数，表明对哪个函数求定积分。 $x$ ：积分变量，表明对哪个变量求定积分。 $f(x)dx$ ：被积式。

说明：定积分与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么符号表示无关。

2. 定积分可积的条件：

（1）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积。

（2）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界，当只有有限个间断点时，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积。

3. 定积分的几何意义：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的定积分的绝对值为函数 $f(x)$ 的图像与闭区间 $[a,b]$ 所围成的面积。

备注：

①：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\geq0$ ，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的定积分就是函数 $f(x)$ 的图像与闭区间 $[a,b]$

所围成的面积。

②：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\leq 0$ ，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的定积分就是函数 $f(x)$ 的图像与闭区间 $[a,b]$

所围成的面积的相反数。

③：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上，当 $x\in [a,c]$ 时， $f(x)\geq0$ ，当 $x\in [c,b]$ 时， $f(x)\leq 0$ ，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的

定积分为： $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx=S_{1}-S_{2}$ 。

④：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的定积分的值为零，那么函数 $f(x)$ 的图像与闭区间 $[a,b]$ 所围成的面积不一定为零。