2025“华数杯”国际数学建模大赛A他能游得更快吗Can He Swim Faster（完整思路模型源代码结果分享）

在2024年巴黎奥运会上，中国游泳运动员潘振磊凭借出色表现成为全球关注的焦点。年仅19岁的他以46秒40的成绩赢得了男子100米自由泳冠军，并创造了个人世界纪录。潘振磊和他的队友徐佳瑜、秦海阳和孙佳军在男子4x100米混合泳接力决赛中再次为中国游泳队夺得金牌，成绩为3分27秒46，打破了美国队在此项目上的40年垄断。潘在最后一段自由式比赛中表现出惊人的速度，完成了他的部分45.92秒，比他在100米自由泳决赛中创造的46.40秒的世界纪录还要快。他的表现不仅帮助中国队逆转并赢得了金牌，还再次证明了他在短距离自由泳项目中的绝对实力。潘振磊的个人游泳技术是不可小觑的，但是有些人还是对他在游泳比赛中的战术运用有疑问。At he 2024 Paris Olympie Games, Chinese swimmer Pan Zhanle has become thefocus ofglobal attention with his outstanding performanee, Only 19 years old, he wonthe men's 100m freestyle with a time of 46,40 seconds and set his own word record.Pan Zhanle and his teammates Xu Jiayu, Qin Haiyang and Sun Jiajun won anothergold medal for the Chinese swimming team in the final ofthe men's 4x 100m medleyrelay with a time of 3:27,46, breaking the 40-year monopoly of the US team in theevent.Pan showed a tremendous amount of speed in the final freestyle, finishing his part in45.92 seconds, It was even faster than his world record of 46,40 seconds set in the100m freestyle final, His perfomance not only helped the Chinese team reverse andwin the gold medal, but also once again proved his absolute strength in the shortdistance freestye eventPan Zhanle's individual swimming prowess should not be underestimated, However.some people still have questions about his taetical use in the swimming competitionThey think there is still room for improvement.

问题一：运动员在比赛中的出色表现往往源于他们艰苦而持续的专业训练。这一过程不仅磨练了他们的游泳技巧，还极大地增强了他们的生理储备。在比赛中，评论员经常提到“保持个人节奏”、“追求最佳身体状态的节奏”和“合理分配体力”，这是运动员如何科学控制比赛中的游泳速度以追求最佳表现策略的精炼总结。对于自由泳项目，请建立分析模型。如何安排速度以获得最佳结果?不同比赛(50米、100米、200米)之间是否存在差异?该型能否进一步验证和评估?（The outstanding achievements of athletes in the competition are often rooted intheir hard and persistent professional training. This process not only honed theirswimming skills, but also greatly enhanced their physiological reserves. In thecompetition, the commentators often mention Maintaining Personal Rhythm.Seeking the Best Physical Condition Rhythm and Reasonable Distribution ofPhysical Strength, which is the concise summary of how athletes scientificallycontrolling swimming speed in the competition to pursue the best performancestrategy. For freestyle events, please build a model for analysis. How to arrangethe speed to get the best results? Is there any difference between different races(50 m, 100 m, 200 m)? Can the model be further verified and evaluated?）

问题描述在自由泳比赛中，运动员的成绩受多个因素影响，其中速度分配策略是关键。运动员需要根据距离、体力分配和身体状态，合理安排每一段的速度，以获得最佳结果。为此，本文以潘振磊的自由泳成绩为研究背景，建立数学模型分析最佳速度分配策略，并探讨在不同比赛（50米、100米、200米）中的差异。
模型假设运动员在比赛中体力消耗与速度的平方成正比。运动员在全程的能量总储备为有限值，且与训练水平和体力有关。不同距离比赛的最佳速度分配策略存在差异，受比赛距离、肌肉疲劳和心理因素影响。每一段的游泳速度恒定，环境影响（如水流、阻力）被认为是均匀的。
符号定义 v(): 时刻 t 的游泳速度（单位：m/s）。 E: 运动员的初始能量储备（单位：J）。 P(t): 时刻 t 的能量消耗速率（单位：J/s）。 k: 能量消耗系数，与水阻力和运动员体质相关（无单位）。 d: 比赛总距离（单位：m）。 T: 比赛总时间（单位：s）。 f(t): 体力衰减函数，表示疲劳对速度的影响。 vopt(t): 最佳速度分配方案。
能量消耗模型根据物理学原理，水阻力的功率与速度的平方成正比，能量消耗速率可表示为：

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总能量消耗为：

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目标函数与约束条件运动员的目标是以最短时间完成比赛，因此优化问题可以表达为：

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约束条件为：总能量有限：

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比赛总距离满足：

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优化问题的求解为了分析最佳速度分配策略，采用拉格朗日乘子法：

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对 v(t) 求导，得到：

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由此可以看出，速度 v(t)与时间无关，运动员应保持恒定速度。

疲劳与动态调整考虑体力衰减对速度的影响，加入体力衰减函数f(t)，调整速度：

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其中，f(t)通常定义为随时间指数下降的函数，例如：

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α 为疲劳系数，与运动员体能相关。

不同比赛的速度分配差异

（1）50米自由泳

50米短距离比赛的特点是强爆发力、体力消耗较少。此时可以忽略f(t) 的影响，最佳策略为全程保持最大速度：

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（2）100米自由泳

100米比赛需要适当分配体力，初始速度略低于最大速度，中后程逐渐加速。假设速度分布为分段线性：

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其中 β为速度调整率。

（3）200米自由泳

200米比赛需要更精细的体力分配，加入疲劳函数调整：

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问题二：潘振磊的成功绝非偶然。他的技术、战术和心理素质堪称世界顶尖。在自由泳比赛中，人们常提到运动员之间的相互测试，这涉及领先策略、跟随策略和其他战术。然而，也有人认为没有固定的策略，关键在于游泳本身。如何平衡运动员之间的战术互动和个人最佳游泳策略?在不同情况下，是否存在一种优于其他策略的方法?请发表您的看法并建立模型来验证这一点。（Pan Zhanle's success is no accident, His technical, tactical and psychologicalqualities are among the best in the world. In the freestyle competition, it is oftenmentioned that the athletes utual Testing, which involves the leading strategy,following strategy and other tactics. However, some people argue that There areno tactics, just focus on swimming. How to balance tactical interaction betweenathletes and individual optimal swimming strategies? Is there one strategy that isbetter than the others in different situations? Give your opinion and build a modelto verify it.）

问题描述在高水平自由泳比赛中，运动员不仅需要最大化自身能力，还需灵活应对对手的战术。例如，领先策略（保持高强度以压制对手）、跟随策略（利用水流减少体力消耗）以及动态调整策略（根据比赛进程实时调整速度）对比赛结果至关重要。本问题研究如何平衡战术互动与个人最佳游泳策略，并探讨在不同情况下是否存在一种优于其他的策略。
模型假设比赛中每位运动员都以追求最佳成绩为目标，策略选择会受到自身能力和对手表现的影响。战术互动对体力消耗有直接影响，例如跟随策略能够减少水阻力。运动员的比赛能力主要由技术水平（速度极限）和耐力水平（体力储备）决定。不同策略对速度和能量消耗的影响可以量化。
符号定义 N: 比赛中运动员的总人数。 vi(t): 第 i 位运动员在时刻 t 的速度（单位：m/s）。 Pi(t): 第 i 位运动员在时刻 t 的能量消耗速率（单位：J/s）。 Ei: 第 i 位运动员的总能量储备（单位：J）。 k: 能量消耗系数，与水阻力和体质相关（无单位）。 fij(t): jjj 对 i 施加的战术影响函数。 αi: 跟随策略的水阻力减少比例（0<αi<1）。
模型建立 4.1 个人最佳游泳策略假设第 i 位运动员单独比赛，其速度分配遵循：

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总能量消耗约束为：

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距离约束为：

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目标是最小化完成时间T，即：

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4.2 战术互动模型在多人比赛中，第i 位运动员的速度和能量消耗受到对手的影响，表示为：

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其中：

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4.3 战术选择运动员在比赛中选择以下三种策略之一： 1.领先策略：尽早拉开距离，通过高速度增加对手的压力。

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其中 γ>0 为速度递减率。 2.跟随策略：紧随前方运动员，利用其制造的水流减少阻力。

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其中 δ>0为微调速度的比例。 3.动态调整策略：根据比赛进程和对手位置动态调整速度，结合领先与跟随。

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其中 η为调整系数。

优化问题综合考虑战术互动和个人策略，目标函数为：

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其中，运动员的能量消耗为：

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距离完成约束为：

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不同策略的适用性分析

（1）领先策略

适用情况：运动员技术水平高且耐力充足。

优势：可拉开与对手的距离，减小战术互动。

劣势：高能量消耗，后程疲劳风险大。

（2）跟随策略

适用情况：对手技术水平强，跟随可降低能量消耗。

优势：节约体力，避免前半程透支。

劣势：对手策略变化可能导致被动局面。

（3）动态调整策略

适用情况：比赛节奏快，战术互动频繁。

优势：灵活应对多种情况，动态优化表现。

劣势：依赖实时计算与判断，执行难度高。

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问题三：中国在2024年巴黎奥运会男子4x100米混合泳接力赛第三棒结束时，落后美国0.75秒。最后一棒将由潘振磊完成。在此情况下，请根据您的研究为他制定比赛策略。该策略能否在决赛中跑出比45.92秒更好的成绩?（China trailed the United States by 0.75 seconds at the end of the third leg of themen's 4x100m mixed swimming relay at the 2024 Paris Olympics. The lastfreestyle will be completed by Pan Zhanle. In this case, please draw up a racestrategy for him based on your research. Can this strategy achieve a better timethan 45.92 seconds in the final?）