第四章补充：线性代数预备知识（B站：小崔说数）

视频1：向量及方程组

原视频：线性代数预备知识——向量及方程组_哔哩哔哩_bilibili

很多同学没办法把线性代数的前后章节联系到一起，比如第三章的向量组和第四章的方程组它们之间到底有什么关系？为了解决大家的疑惑，我接下里将会做一系列的视频来帮助大家更好地学习线代。本期视频我们要聊的是一些预备知识。

一、向量/矢量（vector）

1、向量和标量的区别

向量：又叫矢量，英文叫vector。它是与标量相对的一个量。向量是一个有大小、有方向的量。在中学物理我们学过很多类似的量，比如力（ $\overrightarrow{F}$ ）、速度（ $\overrightarrow{v}$ ）、位移（ $\overrightarrow{x}$ ）等，这些都是既有大小又有方向的量。大家要注意的是，在线性代数中，我们对于向量是不加箭头的，而是采取一种加粗的方式，在高等数学和物理中向量是加箭头的。在解析几何中，我们通过不同的有向线段来表示不同的向量。

标量：是一个仅有大小的量。这种量有很多，比如温度、体积、面积等

2、向量的坐标

向量的坐标和点的坐标是一致的。因为在线性代数中，我们在研究向量的时候，其实我们就是在研究这个向量所对应的点。因为我们在研究这个点的时候我们不把它看作点，而是看做由原点出发，到这个点的一个向量。👇

注意：我们在线性代数中，我们总是把向量写作列向量，或者说总是以列的形式来描述一个向量的坐标。

总结：向量是一个有大小、有方向的量，它是一个有向线段，

二、线性方程组（Linear Equations）

我们来看第二个预备知识——线性方程组

上图👆的方程组用我们很容易就能解出来（初中的消元法）

下面我们来看一下它的几何解法，即在图像上这个方程组是个什么情况👇

1、行图像法

所谓的行图像法，其实就是将这个方程组按照行去切成两块👇

这样就成了两根直线，现在我们把它给描绘出来👇

我们可以发现，这两根直线有一个交点（1，2），我们把这个交点当做方程组的解。

这是一种高中常用的方法。但是线性代数中我们通常不用这种方法，我们通常用列图像法👇

2、列图像法

列图像法就是，我们可以将上面这个方程组转换成矩阵乘法的形式，把它的系数拿出来，乘以x和y，等于右边的列向量。如下图👇

下面我们来看一下这个“列图像”是怎么玩的

上图👆中，我们把 $\binom{2}{-1}$ 当做 $\alpha$ 向量，把 $\binom{-1}{2}$ 当做 $\beta$ 向量，把 $\binom{0}{3}$ 当做 $\gamma$ 向量。

如果你还记得一点点矩阵相乘的知识，那么上面就等于：

$x\alpha +y\beta =\gamma$

用向量来表示，就如下图👇

翻译一下上面图的意思：就是多少倍的 $\alpha$ 向量+多少倍的 $\beta$ 向量= $\gamma$ 向量

因为我们刚才已经解出来了，x=1，y=2，那么也就是👇

向量的相加和我们高中物理的力的合成和分解是一样的，都遵循平行四边形法则。即：

也就是说，我在解上面这个方程组的时候，其实就是在看 $\alpha$ 和 $\beta$ 向量怎么线性组合成 $\gamma$ 向量，就这么简单！

所以向量之间的关系和方程组是密不可分的。一开始我也提到，第三章向量组，第四章方程组，它们之间是有很强的联系的，现在我把这个联系告诉你们了：解方程其实就是在做线性组合。

总结一下，今天我们聊了两个预备知识：

1、向量，向量是一个有大小、有方向的量，并且它可以在坐标轴中用类似于点的坐标的形式表示出来。

2、线性方程组，这个是我们都很熟悉的，我们介绍了解方程组的两种方法：行图像法、列图像法。而通过列图像法可以发现，解方程组其实和找向量的线性组合这两者是统一的。

视频2：向量与空间

原视频：线性代数预备知识——向量与空间_哔哩哔哩_bilibili

上个视频我们聊了向量和线性方程组，我们知道向量是可以表示一个力的大小、方向。同时向量与方程组之间也有着密不可分的关系。那向量还可以用来做什么呢？向量可以用来表示一个空间。接下来我们来聊聊它是如何表示一个空间的。

一、空间（space）

我们先来聊一聊什么是空间。我相信大家对于空间这个概念还是比较熟悉的，比如一维空间是一条直线，二维空间是一个平面，三维空间是我们所属的空间，四维空间是我们作为三维空间的生物所无法想象的。

空间维度的数学表示方法如下：

二、坐标

我们以前用到的坐标一般都是在直角坐标系中的，如下图：

问：什么是坐标？

答：坐标其实就是定位一个点的方法。

其实我们定位点不一定只有一种方法。除了我们常用的直角坐标系（笛卡尔坐标系）以外，我们还有极坐标，三维里面还有球坐标、柱面坐标等等。这里不做过多的拓展。我们就来看这个直角坐标。

你们有没有想过直角坐标中的（x，y）究竟是什么？怎么得到这个坐标的？你大概率可能会说，这个点对x、y轴分别做一个投影，长度分别是x、y。然后就说这个点的坐标是（x，y）如下图⬇️

这样想当然没错，但你有没有想过它实际上是什么呢？

如下图⬇️，这个点我已经改成了向量形式

之前我们说过，在线性代数里面，我们研究一个点，往往不是研究这个点本身，而是研究它所对应的那个向量。那我们来看这个向量是哪里来的。

我给大家两个向量： $\vec{i}=\binom{1}{0}$ 和 $\vec{j}=\binom{0}{1}$ ，那么 $\binom{x}{y}$ 这个向量能否由 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 这两个向量组合得到？显然是可以的，依然还是用投影的方法，这和我们高中学过的力的分解与合成其实是一样的。

接下来，请大家思考这样一个问题： $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 这两个向量能否表示出我这个平面上任何一个点，或者说任何一个向量？显然是可以的，因为我这里的x和y向量是任意取的，即 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 这两个向量的线性组合可以表示出整个平面。于是，我们就将 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 这两个向量称为 $R^{2}$ 空间的基向量（basis，可以理解为我们这个平面的基础），而坐标就是基向量线性组合的系数。

那下一个问题，各位想一想， $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 这两个特殊的向量可以表示出整个平面，那我随便画两个向量，如下图👇

请问这两个向量可以像刚才那样表示出整个平面吗？答案是肯定的，我们只需要看 $\alpha$ 和 $\beta$ 这两个向量能线性组合出那些点就可以了。或者我们可以说， $\alpha$ 和 $\beta$ 这两个向量张（span）成了 $R^{2}$ 空间。

那么，， $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ ， $\alpha$ 和 $\beta$ 这两组基之间能否互相变换呢？答案是肯定的，我将在后续的内容中慢慢和大家聊。其实简单来说就是把 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 这组基向量做一些线性变化就可以了，所谓的线性变换就是旋转、拉伸。咱们后面再聊这个话题。

听完这些内容之后，你脑子里再想想三维的直角坐标系，可以说，下图中的这三个向量张成了 $R^{3}$ 空间👇