小波分析是近年来发展起来的一种新的时频分析方法，其典型应用包括齿轮变速控制、起重机的非正常噪声、通信信号处理、物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于，区分突发信号的稳定信号，以及定量分析其能量；其典型应用包括细胞膜的识别、金属表面的探伤、金融学中快变量的检测、INTERNET的流量控制等。

从以上信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学、工程技术、生物科学、经济学等众多领域，而且在很多情况下，单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力检测系统中，既要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是应这类需求发展起来的。

在传统的傅里叶分析中，信号安全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅里叶分析进行推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅里叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等。其中短时傅里叶变换是在傅里叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定是，在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说粒度还是太大。换言之，短时傅里叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。

而小波分析则克服了短时傅里叶变换在但分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。一般情况下，在低频部分（信号较平稳），可以采用较低的时间分辨率提高频率的分辨率；在高频情况下（频率变化不大），可以用较低的频率分辨率换取精确的时间定位。因为这些特点，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。

小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩、图像融合、图像分解、图像增强等。除此之外，还给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。

常见的小波分析方法

一维连续小波变换

定义：$\psi (t)\in L^2(R)$，其傅里叶变换为$\hat{\psi }(\omega )$，当$\hat{\psi }(\omega )$满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）
$$C_{\psi }=\underset{R}{\int }\frac{|\hat{\psi }(\omega ){|}^2}{|\omega |}d\omega <\infty$$
时，我们称$\psi (t)$为一个基本小波或母小波。母函数$\psi (t)$经伸缩和平移后得
$${\psi }_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)(a,b\in R;a\ne 0)$$
称其为一个小波序列。其中$a$为伸缩因子，$b$为平移因子。对于任意的函数$f(t)\in L^2(R)$的连续小波变换为
$$W_f(a,b)=<f,{\psi }_{a,b}>=|a{|}^{-\frac{1}{2}}\underset{R}{\int }f(t)\overline{\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)}dt$$
其重构公式（逆变换）为
$$f(t)=\frac{1}{C}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^2}{W}_f(a,b)\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)dadb$$

由于基小波$\psi (t)$生成的小波${\psi }_{a,b}(t)$在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以$\psi (t)$还应该满足一般函数的约束条件
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|\psi (t)|dt<\infty$$

故$\hat{\psi }(\omega )$是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件外，还要求小波$\psi (t)$的傅里叶变换满足下面的稳定性条件
\begin{equation}
A\le \sum\limits_{-\infty}^{{+\infty}|\hat{\psi}(2}{-j}\omega)|^2\le B
\end{equation}

从稳定性条件可以引出一个重要的概念。

\textbf{定义}（对偶小波）~~若小波$\psi (t)$满足$ A\le \sum\limits_{-\infty}^{{+\infty}|\hat{\psi}(2}{-j}\omega)|^2\le B$，则定义一个对偶小波$\tilde{\psi}(\omega)$由洗啊式给出
$$\hat{\tilde{\psi }}(\omega )=\frac{{\hat{\psi }}^{\ast }(\omega )}{\sum _{j=-\infty }^{+\infty }|\hat{\psi }(2^{-j}\omega ){|}^2}$$

连续小波变换具有以下重要性质

1. 线性性一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和；

2. 平移不变性若$f(t)$的小波变换为$W_f(a,b)$，则$f(t-\tau )$的小波变换为$W_f(a,b-\tau )$；

3. 伸缩共变性若$f(t)$的小波变换为$W_f(a,b)$，则$f(ct)$的小波变换为
   $$\frac{1}{\sqrt{c}}{W}_f(ca,cb),c>0$$

4. 自相似性对应不同尺度参数$a$和不同平移参数$b$的连续小波变换之间是自相似的；

5. 冗余性连续小波变换中存在信息表述的冗余性。

小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面

1. 由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号$f(t)$的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅里叶反变换是一一对应的。

2. 小波变换的核函数（即小波函数${\psi }_{a,b}(t)$）存在许多可能的选择（例如，它们可以是非正交变换小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的）。

小波变换在不同的$(a,b)$之间的相关性增加了分析和解释小波变换的结果的困难，因此小波变换的冗余度应尽可能减小，它是分析小波分析中的主要问题之一。

高维连续小波变换

对$f(t)\in L^2(R^n)(n>1)$，公式
$$f(t)=\frac{1}{C_{\psi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^2}{W}_f(a,b)\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)dadb$$
存在几种扩展的可能性。一种可能性是选择小波$f(t)\in L^2(R^n)$，使其为球对称，其傅里叶变换也同样球对称
$$\hat{\psi }(\bar{\omega })=\eta (|\bar{\omega }|)$$
并且其相容性条件变为
$$C_{\psi }=(2\pi {)}^2{\int }_0^{+\infty }|\eta (t){|}^2\frac{dt}{t}<\infty$$
对所有的$f,g\in L^2(R^n)$，有
$${\int }_0^{+\infty }\frac{da}{a^{n+1}}{W}_f(a,b){\bar{W}}_g(a,b)db=C_{\psi }<f$$
式中，$W_f(a,b)=<{\psi }_{a,b}>,{\psi }_{a,b}=a^{-\frac{n}{2}}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)$，其中$a\in R^{+}$，$a\ne 0$且$b\in R^n$式(0$-$8)也可以写为
$$f=C_{\psi }^{-1}{\int }_0^{+\infty }\frac{da}{a^{n+1}}{\int }_{R^n}{W}_f(a,b){\psi }_{a,b}db$$

如果选择的小波$\psi$不是球对称的，则可以用旋转，进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义
$${\psi }_{a,b,\theta }(t)=a^{-1}\psi \left[R_{\theta }^{-1}\right(\frac{t-b}{a}\left)\right]$$
这里，$a>0,b\in R^2,R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$，相容的条件变为
$$C_{\psi }=(2\pi {)}^2{\int }_0^{+\infty }\frac{dr}{r}{\int }_0^{2\pi }|\hat{\psi }(r\cos \theta ,r\sin \theta ){|}^{2}d\theta <\infty$$

该等式对应的重构公式为
\begin{equation}
f=C_\psi^{-1}\int_0{+\infty}\frac{da}{a^3}\int_{R2}db\int_{0}^{2\pi}W_f(a,b,\theta)\psi_{a,b,\theta}d\theta
\end{equation}

离散小波变换

在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波${\psi }_{a,b}(t)$和连续小波变换$W_f(a,b)$的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数$a$和平移参数$b$的，而不是针对时间变量$t$的。在连续小波中，考虑函数
$${\psi }_{a,b}(t)=|a{|}^{-\frac{1}{2}}\psi (\frac{t-b}{a})$$

这里$b\in R,a\in R^{+}$，且$a\ne 0$，$\psi$是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制$a$只取正值，这样相容性条件就变为
$$C_{\psi }={\int }_0^{+\infty }\frac{|\hat{\psi }(\omega )|}{|\omega |}d\omega <+\infty$$

通常，把连续小波变换中尺度参数$a$和平移参数$b$的离散公式分别取作$a=a_0^j,b=k{a}_0^j{b}_0$，这里$j\in Z$，扩展步长$a_0\ne 1$是固定值，为方便起见，总是假定$a_0>1$（由于$m$可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。所以对应的离散小波函数${\psi }_{j,k}(t)$即可写作
$${\psi }_{j,k}(t)=a_0^{-\frac{j}{2}}\psi \left(\frac{t-k{a}_0^j{b}_0}{a_0^j}\right)=a_0^{-\frac{j}{2}}\psi (a_0^{-j}t-k{b}_0)$$
而离散化小波变换系数则可表示为
$$C_{j,k}={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\psi }_{j,k}^{\ast }(t)dt=<f,{\psi }_{j,k}>$$
其重构公式为
$$f(t)=C\sum _{-\infty }^{+\infty }\sum _{-\infty }^{+\infty }{C}_{j,k}{\psi }_{j,k}(t)$$

$C$是一个与信号无关的常数。网格点应尽可能密（即$a_0$和$b_0$尽可能小）才能保证重构信号的精度，如果网格点稀疏，那么使用的小波函数${\psi }_{j,k}(t)$和离散小波系数$C_{j,k}$就会越少，信号重构的精确度就会越低。