AR 模型的功率谱

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功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）的表达式是从信号的自相关函数和系统的频率响应推导出来的，特别是对于 AR（Auto-Regressive，自回归）模型。以下是推导的过程：

1. AR 模型的定义：

一个 $p$ -阶 AR 模型定义为：
$\sum_{k=1}^p a_k x(n-k) + w(n)$
其中：

$a_k$ 是 AR 模型的系数；
$argin-right: 0.0269em;">w (n)$ 是白噪声序列，满足 $argin-right: 0.0576em;">E [argin-right: 0.0269em;">w (n)] = 0$ ， $\sigma_w^2 \delta(n-m)$ 。

2. 信号的 Z 变换：

对模型两边应用 Z 变换（假设初始条件为 0）：
$\sum_{k=1}^p a_k z^{-k} X(z) + W(z)$
整理得到：
$\frac{W(z)}{1 - \sum_{k=1}^p a_k z^{-k}}$
这表示 $x (n)$ 是由白噪声 $argin-right: 0.0269em;">w (n)$ 经过一个系统滤波得到的，系统的传递函数为：
$\frac{1}{1 - \sum_{k=1}^p a_k z^{-k}}$

3. 功率谱密度的定义：

信号 $x (n)$ 的功率谱密度定义为：
$S_x(f) = \lim_{N \to \infty} E\left[ |X(f)|^2 \right]$
通过 Wiener-Khinchin 定理，功率谱密度也是信号自相关函数 $argin-right: 0.0278em;">r (argin-right: 0.0315em;">k)$ 的傅里叶变换：
$S_x(f) = \mathcal{F}\{r(k)\}$

结合白噪声的性质和滤波器系统，功率谱密度可以写为：
$S_x(f) = \sigma_w^2 \cdot |H(f)|^2$

4. 频率响应 $argin-right: 0.0813em;">H (argin-right: 0.1076em;">f)$ ：

将 $argin-right: 0.0813em;">H (argin-right: 0.044em;">z)$ 表达为频率的函数 $argin-right: 0.1076em;">f$ ，使用 $e^{j2\pi f}$ 代入：
$\frac{1}{1 - \sum_{k=1}^p a_k e^{-j2\pi f k}}$
因此， $H(f)|^2$ 为：
$|H(f)|^2 = \frac{1}{\left|1 - \sum_{k=1}^p a_k e^{-j2\pi f k}\right|^2}$

5. AR 模型的功率谱：

最终功率谱密度为：
$S_x(f) = \frac{\sigma_w^2}{\left|1 - \sum_{k=1}^p a_k e^{-j2\pi f k}\right|^2}$
对于二阶 AR 模型（ $p = 2$ ）：
$S_x(f) = \frac{\sigma_w^2}{\left| 1 - a_1 e^{-j2\pi f} - a_2 e^{-j4\pi f} \right|^2}$

6. 推导总结：

功率谱密度 $S_x(f)$ 的核心是利用 AR 模型的滤波器特性：

$x (n)$ 是白噪声 $argin-right: 0.0269em;">w (n)$ 通过一个滤波器得到的；
滤波器的频率响应 $argin-right: 0.0813em;">H (argin-right: 0.1076em;">f)$ 由 AR 系数 $a_k$ 确定；
白噪声的功率谱是常数 $\sigma_w^2$ ，经过滤波器后功率谱形状由 $H(f)|^2$ 决定。