leetcode98:验证二叉搜索树

server/2024/12/28 9:18:15/

给你一个二叉树的根节点 root ,判断其是否是一个有效的二叉搜索树。

有效 二叉搜索树定义如下:

  • 节点的左

    子树

    只包含 小于 当前节点的数。
  • 节点的右子树只包含 大于 当前节点的数。
  • 所有左子树和右子树自身必须也是二叉搜索树。

示例 1:

输入:root = [2,1,3]
输出:true

示例 2:

输入:root = [5,1,4,null,null,3,6]
输出:false
解释:根节点的值是 5 ,但是右子节点的值是 4 。

提示:

  • 树中节点数目范围在[1, 104] 内
  • -231 <= Node.val <= 231 - 1

步骤1:问题定义与分析

问题描述:

给定一个二叉树的根节点 root,判断其是否为一个有效的二叉搜索树(BST)。

有效二叉搜索树定义:

  1. 对于树中的每个节点,节点的左子树包含的所有值小于当前节点的值。
  2. 节点的右子树包含的所有值大于当前节点的值。
  3. 左右子树本身也必须是二叉搜索树。
输入与输出:
  • 输入:一个二叉树的根节点 root
  • 输出:布尔值,true 表示是有效的二叉搜索树,false 表示不是。
限制与边界条件:
  • 节点数目范围为 [1, 10^4]
  • 节点值范围为 [-2^31, 2^31 - 1]
边界条件:
  • 如果树只有一个节点,那么它肯定是有效的二叉搜索树。
  • 空树也是有效的二叉搜索树(可以认为空树符合 BST 的定义)。

步骤2:算法设计与分析

方法1:递归法(中序遍历)

一个二叉搜索树的中序遍历结果应该是一个升序的序列,因此,我们可以使用中序遍历的方式来判断树是否符合 BST 的定义。

算法步骤

  1. 采用 中序遍历(左子树 → 当前节点 → 右子树)来遍历树。
  2. 在遍历的过程中,检查当前节点的值是否大于前一个节点的值(因为中序遍历的结果应该是递增的)。
  3. 如果在中序遍历过程中发现某一对节点的顺序不符合升序,则返回 false,否则返回 true

时间复杂度与空间复杂度

  • 时间复杂度:O(n),其中 n 是节点的数量,因为我们需要遍历树中的每个节点一次。
  • 空间复杂度:O(h),其中 h 是树的高度,递归栈的深度为树的高度。在最坏情况下(例如树是链表形态),空间复杂度为 O(n),在最好的情况下(例如树是完全平衡的),空间复杂度为 O(log n)。

方法2:递归法(传递区间)

我们可以在递归过程中,为每个节点设定一个合法的值区间(min 和 max),根据这个区间判断当前节点值是否符合 BST 的要求。

算法步骤

  1. 从根节点开始,递归地检查左右子树。
  2. 对于当前节点的值,检查它是否在允许的区间内:min < node.val < max
  3. 左子树的值应该在 [min, node.val) 区间内,右子树的值应该在 (node.val, max] 区间内。
  4. 如果任何节点的值不满足这个条件,则返回 false,否则返回 true

时间复杂度与空间复杂度

  • 时间复杂度:O(n),因为我们需要遍历树中的每个节点一次。
  • 空间复杂度:O(h),递归栈的深度为树的高度,最坏情况下为 O(n),最好情况下为 O(log n)。

步骤3:C++ 代码实现

选择 方法1:递归法(中序遍历) 进行实现,因为该方法简单且直接。

代码解释:
  1. TreeNode 结构体:表示二叉树的节点,每个节点有一个值 val 和两个指针 left 和 right,分别指向左子树和右子树。
  2. isValidBST 方法:入口方法,调用 inorderTraversal 进行中序遍历。
  3. inorderTraversal 方法:递归执行中序遍历,同时检查每个节点是否满足 BST 的条件:
    • 遍历左子树。
    • 检查当前节点值是否大于前一个节点值。
    • 遍历右子树。
  4. prev 变量:保存上一个节点的值,用于比较当前节点值是否符合 BST 的条件。
输出解释
  • 对于输入树 [2, 1, 3],输出 true,因为它是一个有效的二叉搜索树。
  • 对于输入树 [5, 1, 4, null, null, 3, 6],输出 false,因为右子树的 4 小于根节点 5,违反了 BST 的定义。

步骤4:通过解决这个问题获得的启发

  1. 树的遍历方式的重要性:通过使用中序遍历,我们能够非常自然地判断树的结构是否符合二叉搜索树的定义。中序遍历的特点是访问节点的顺序是升序的,这为检查树的有效性提供了一个高效的解决方案。
  2. 递归与迭代的权衡:递归是一种简洁且直观的方式来遍历树结构,但对于深度较大的树,可能会导致栈溢出问题。因此,对于非常大的树结构,可能需要考虑迭代方法或者尾递归优化。
  3. 树的性质与优化:通过设定一个区间来判断树的有效性是一种优化方法,可以避免使用额外的空间保存遍历结果。这种思想也可以应用到其他树的验证问题中。

步骤5:实际应用分析

实际应用示例:
  1. 数据库索引的验证

    • 在数据库管理系统中,通常会使用二叉搜索树(或平衡树)来维护数据的索引。我们可以使用这种算法来验证索引树是否符合二叉搜索树的定义,以确保数据的查询效率和准确性。
  2. 决策树的验证

    • 在机器学习中,决策树用于分类和回归问题。通过判断树是否符合二叉搜索树的结构,我们可以验证模型的稳定性和合理性。
  3. 文件系统中的目录结构验证

    • 在文件系统中,目录结构可以被抽象为一棵树。通过验证该树是否符合二叉搜索树的结构,能够帮助我们确保文件管理系统的正确性。
实现方法

在实现过程中,我们可以结合树的结构和遍历算法,利用递归或迭代的方式来检查树的有效性。在实际应用中,树的高度、节点的分布等都可能影响算法的性能,特别是在处理大规模数据时需要考虑性能优化。


http://www.ppmy.cn/server/147562.html

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