电机瞬态分析基础（3）：空间矢量

1. 空间矢量

空间矢量的概念在交流电机分析与控制中具有非常重要的作用。将各相的电压、电流、磁链等电磁量用空间矢量表达，可以使三相感应电机的动态方程表达更简洁，为电机的分析与控制带来方便，并有助于对交流电机的矢量控制、直接转矩控制、PWM方法中电压空间矢量调制（SVPWM）等问题的理解，特别是利用空间矢量的概念可以方便地确定不同坐标系间的变换系数，即变换矩阵C，实现不同坐标系间的坐标变换。

1.1. 空间矢量的基本概念

任何在空间按正弦分布的物理量都可以用空间相量来表示，并按矢量运算法则进行运算。交流电机中，若某相绕组x通以电流ix，在忽略空间谐波的条件下，该相绕组产生的磁动势在空间按正弦分布，可用空间矢量 $\mathbf{F}_{\mathbf{x}}$ 表示，矢量的长度表示基波磁动势的幅值 $F_{x}$ ，矢量所在的位置和方向表示磁动势正波幅所在的位置和方向。对单相绕组而言，由于其基波磁动势幅值位置固定在绕组轴线上，故相应的矢量 $\mathbf{F}_{\mathbf{x}}$ 在矢量图中的位置固定不变，始终在绕组轴线上，只是矢量的长度随时间变化，方向时而正，时而负。

图1. 三相相坐标系中的综合矢量（空间矢量）

在三相交流电机中，定子为三相对称绕组，其轴线分别为A、B、C，在空间互差120度，若绕组电流分别为 $i_{A},i_{B},i_{C}$ ，它们产生的基波磁动势用空间矢量表示分别为 $\mathbf{F}_{A}^{} \mathbf{F}_{B} \mathbf{F}_{C}$ ，如图1-4所示，将三个磁动势矢量按矢量运算法则相加，可以得到一个新矢量 $\mathbf{F}$ ，有

$\mathbf{F}=\mathbf{F}_\mathrm{A}+\mathbf{F}_\mathrm{B}+\mathbf{F}_\mathrm{C}=F_\mathrm{A}\mathbf{a}+F_\mathrm{B}\mathbf{b}+F_\mathrm{C}\mathbf{c}$ （1）

$F_\mathrm{x}=\frac4\pi\frac{Nk_\mathrm{W1}}{2p_\mathrm{n}}i_\mathrm{x}=k_\mathrm{F}i_\mathrm{x}$ （2）

式中， $k_{\mathrm{F}}=\frac4\pi\frac{Nk_{\mathrm{W}1}}{2p_{\mathrm{n}}}$ 。

则式（3）可以写成

$\mathbf{F}=k_\mathrm{F}i_\mathrm{A}\mathbf{a}+k_\mathrm{F}i_\mathrm{B}\mathbf{b}+k_\mathrm{F}i_\mathrm{C}\mathbf{c}=k_\mathrm{F}(i_\mathrm{A}\mathbf{a}+i_\mathrm{B}\mathbf{b}+i_\mathrm{C}\mathbf{c})=k_\mathrm{F}\mathbf{i}_\mathrm{\Sigma}$ （3）

式（3）表明，虽然三相电流 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 不是在空间按正弦规律分布的空间正弦量，而是时间变量，它们也可以用位于各相绕组轴线上长度等于该相电流瞬时值的空间矢量表示，并按矢量运算法则运算。

从物理意义上看，电流矢量 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 分别代表了各相电流产生的磁动势矢量 $\mathbf{F}_{A}$ 、 $\mathbf{F}_{B}$ 、 $\mathbf{F}_{C}$ ，相应地其合成矢量 $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 代表的是三相合成磁动势 $\text{F}$ ， $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 的空间位置对应于合成磁动势基波幅值的空间位置， $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 的长度与合成磁动势的幅值 $\text{F}$ 成正比。

由于合成磁动势 $\mathbf{F}$ 综合反映了三相绕组的磁动势 $\mathbf{F}_{A}$ 、 $\mathbf{F}_{B}$ 、 $\mathbf{F}_{C}$ ，由此不难理解，电流合成矢量 $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 可以综合反映三相电流 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 的瞬时值，因此，我们可以以合成矢量 $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 为基础，通过引入系数K，定义一个新的电流矢量 $\mathbf{i}=k\mathbf{i}_{\Sigma}$ ，称为电流综合空间矢量，简称电流综合矢量或电流空间矢量。系数K可以取不同的值，相应地综合矢量有不同的定义方法。

1.2. $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 在A、B、C轴线上的投影

按照矢量运算法则， $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 在A相绕组轴线的投影 $i_{\Sigma A}$ 应为 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 三个矢量在A轴投影的代数和，即

$\begin{aligned} i_{\Sigma\mathrm{A}}& =i_\mathrm{A}+i_\mathrm{B}\cos120°+i_\mathrm{C}\cos240°=i_\mathrm{A}-\frac12i_\mathrm{B}-\frac12i_\mathrm{C} \\ &=\frac32{\left[i_\mathrm{A}-\frac13{\left(i_\mathrm{A}+i_\mathrm{B}+i_\mathrm{C}\right)}\right]}=\frac32{\left(i_\mathrm{A}-i_0\right)} \end{aligned}$ （4）

式中， $i_{0}$ 称为零轴分量。

$i_0=\frac13\big(i_\mathrm{A}+i_\mathrm{B}+i_\mathrm{C}\big)$ （5）

同理可得 $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 在B、C轴的投影分别为

$i_{_{\Sigma B}} = \frac{3}{2}\big(i_{_B} - i_{_0}\big)\\i_{\Sigma C}=\frac{3}{2}\big(i_{\mathrm{C}}-i_{0}\big)$ （6）（7）

由式（4）～（7）可知，若三相绕组为中性点隔离的Y联接，则

$i_A+i_B+i_C=0 ,\quad i_0=0 ,\quad\mathbf{i}_\Sigma$ 在三相绕组轴线的投影分别为 $\frac{3}{2}i_{A}$ 、 $\frac{3}{2}i_{B}$ 和 $\frac{3}{2}i_{C}$ 比各绕组的实际电流大了3/2倍，鉴于此，为了方便，在三相系统中常将综合矢量定义中的系数K取为3/2，即有

$\mathbf{i}=\frac23\mathbf{i}_{\Sigma}=\frac23(\mathbf{i}_{\mathrm{A}}+\mathbf{i}_{\mathrm{B}}+\mathbf{i}_{\mathrm{C}})$ （8）

这样，在 $i_A+i_B+i_C=0$ 的前提下， $\text{i}$ 在三相绕组轴线的投影即为 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 。若 $i_A+i_B+i_C\neq0$ ，则 $\text{i}$ 在三相绕组轴线的投影 $i_{A}^{\prime}$ 、 $i_{B}^{\prime}$ 、 $i_{C}^{\prime}$ 分别为扣除零轴分量后的三相电流瞬时值，即有

$i_\mathrm{A}^{\prime}=i_\mathrm{A}-i_0,i_\mathrm{B}^{\prime}=i_\mathrm{B}-i_0\text{,}i_\mathrm{C}^{\prime}=i_\mathrm{C}-i_0$ （9）

式（9）实际上意味着综合矢量 $\text{i}$ 及合成矢量 $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 中不含有零轴分量的信息。

从物理概念上讲，零轴分量是三相电流中的零序分量，在三相对称系统中，零序电流不产生合成气隙磁动势。

而从数学的角度看，确定综合矢量 $\text{i}$ 只需要两个独立变量，故不可能与三个独立变量 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 建立一一对应的关系。

但扣除零轴分量后的三相电流 $i_{A}^{\prime}$ 、 $i_{B}^{\prime}$ 、 $i_{C}^{\prime}$ 情况有所不同，由式（9）和式（5）可知

$i'_A+i'_B+i'_C=i_A+i_B+i_C-3i_0=0$ （10）

因此， $i_{A}^{\prime}$ 、 $i_{B}^{\prime}$ 、 $i_{C}^{\prime}$ 中只有两个独立变量，可以与合成矢量 $\mathbf{i}_{\Sigma}$ 或综合矢量 $\text{i}$ 建立一一对应的关系。

综合前述分析，可以得到如下结论：

$\mathbf{i}^{\prime}=\frac23(\mathbf{i}^{\prime}_A+\mathbf{i}^{\prime}_B+\mathbf{i}^{\prime}_C)=\mathbf{i}$ ，而 $\mathbf{i}$ ‘或 $\mathbf{i}$ 在三相轴线A、B、C的投影即为扣除零轴分量后的三相电流瞬时值 $i_{A}^{\prime}$ 、 $i_{B}^{\prime}$ 、 $i_{C}^{\prime}$ 。

1.3. 两相坐标系中的综合矢量

类似地可以在两相坐标系中定义综合矢量，如图2所示，有两相对称绕组x、y，其轴线分别为x和y，在空间互差90°电角度，绕组电流分别为 $i_{x}$ 、 $i_{y}$ ，相应的空间矢量 $\mathbf{i}_{\mathbf{x}}$ 和 $\mathbf{i}_{y}$ ，则 $\mathbf{i}_{\mathbf{x}}$ 、 $\mathbf{i}_{y}$ 的矢量和 $\text{i}$

$\mathbf{i}=\mathbf{i}_\mathrm{x}+\mathbf{i}_\mathrm{y}$ （11）

图2. 两相坐标系中的综合矢量

即为两相系统中的电流综合空间矢量。从物理意义上看， $\mathbf{i}$ 代表了两相绕组产生的气隙合成磁动势。在两相系统中，由于坐标轴正交，矢量 $\mathbf{i}$ 与两相电流 $i_{x}$ 、 $i_{y}$ 之间存在简单的对应关系，不需进一步处理。

1.4. 其它电磁量的综合矢量（空间矢量）

同理，其它时间变量，如电压 $\text{u}$ 、磁链 $\psi$ 等均可以用空间矢量表示，其综合矢量的定义与式（9）或（11）相同，只需将其中的变量“ $\mathbf{i}$ ”换成“ $\text{u}$ ”或“ $\psi$ ”即可。也就是说，电机的定、转子电压、电流、磁链、磁动势、电动势、磁通、磁密等电磁量均可以用空间矢量表示，这些矢量有些在空间上实际存在，如磁动势、磁密等；有些在空间上不存在，但代表着实际存在的矢量，如定、转子电流矢量代表着实际存在的定、转子磁动势矢量；还有一些矢量在空间不存在，也不代表实际存在的矢量，仅仅是一种数学处理，如电压、电动势、磁链等。

1.5 空间矢量的复数表示

为了便于进行数学运算，空间矢量常用复数表示，在三相系统中常取A轴为实轴，虚轴领先实轴以90°电角度，则A、B、C轴上的单位矢量 $\mathbf{a}=e^{j0^{\circ}}$ , $\mathbf{b}=e^{j120^{\circ}}$ , $\mathbf{c}=e^{j240^{\circ}}$ 。为了表示方便，常令 $a=e^{j120^{\circ}}$ ，则，综合矢量 $\mathbf{i}$ 可以表示为