2022数学分析【南昌大学】

server/2024/11/19 11:21:02/

2022 数学分析

  1. 利用极限定义证明: lim ⁡ n → ∞ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 = 2 \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} = 2 nlim2n3104n3+n2=2

    ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ε>0 要使不等式成立,限制 n > 18 n>18 n>18

    ∣ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 − 2 ∣ = ∣ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 − 2 ∣ = ∣ n + 18 2 n 3 − 10 ∣ ≤ ∣ 2 n 2 n 3 − 2 n ∣ = ∣ 1 n 2 − 1 ∣ < ε \begin{align*} \left| {\frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} - 2} \right| &= \left| {\frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} - 2} \right|\\ &= \left| {\frac{{n + 18}}{{2{n^3} - 10}}} \right|\\ &\le \left| {\frac{{2n}}{{2{n^3} - 2n}}} \right|\\ &= \left| {\frac{1}{{{n^2} - 1}}} \right|\\ &< \varepsilon \end{align*} 2n3104n3+n22 = 2n3104n3+n22 = 2n310n+18 2n32n2n = n211 <ε

    解得 n > 1 ε + 1 n>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1} n>ε1+1 ,取 N = max ⁡ { 18 , 1 ε + 1 } N=\max\{18,\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1}\} N=max{18,ε1+1 }

    于是有, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ε>0, ∃ N = max ⁡ { 18 , 1 ε + 1 } \exist N=\max\{18,\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1}\} N=max{18,ε1+1 } , 当 n > N n>N n>N, 有 ∣ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 − 2 ∣ < ε \left| {\frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} - 2} \right| < \varepsilon 2n3104n3+n22 <ε。即 lim ⁡ n → ∞ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 = 2 \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} = 2 nlim2n3104n3+n2=2

  2. 求下列极限。

    1. lim ⁡ n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n ) ; \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{n + n} \right); nlim(n+11+n+21++n+n1);
    2. lim ⁡ x → 0 [ sin ⁡ x − sin ⁡ ( sin ⁡ x ) ] sin ⁡ x x 4 ; \lim_{x \to 0} \frac{[\sin x - \sin(\sin x)] \sin x}{x^4}; x0limx4[sinxsin(sinx)]sinx;
    3. lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 2 x ∣ t − x ∣ sin ⁡ t   d t x 3 . \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{2x} \left|t - x\right| \sin t \, dt}{x^3}. x0+limx302xtxsintdt.

    解答 1

    lim ⁡ n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n ) = lim ⁡ n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n 1 1 + k n = ∫ 0 1 1 1 + x d x = ln ⁡ ( 1 + x ) ∣ 0 1 = ln ⁡ 2 \begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + \cdots + \frac{1}{{n + n}}} \right) &= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{1 + \frac{k}{n}}}} \\ &= \int_0^1 {\frac{1}{{1 + x}}dx} \\ &= \ln \left( {1 + x} \right)|{}_0^1\\ &= \ln 2 \end{align*} nlim(n+11+n+21++n+n1)=nlimn1k=1n1+nk1=011+x1dx=ln(1+x)01=ln2

    解答 2

    lim ⁡ x → 0 [ sin ⁡ x − sin ⁡ ( sin ⁡ x ) ] sin ⁡ x x 4 = lim ⁡ x → 0 1 6 sin ⁡ 3 x sin ⁡ x x 4 = 1 6 \begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{[\sin x - \sin (\sin x)]\sin x}}{{{x^4}}}& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{6}{{\sin }^3}x\sin x}}{{{x^4}}} \\ &= \frac{1}{6} \\ \end{align*} x0limx4[sinxsin(sinx)]sinx=x0limx461sin3xsinx=61

    解答 3

    lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 2 x ∣ t − x ∣ sin ⁡ t   d t x 3 = lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 x ( x − t ) sin ⁡ t   d t + ∫ x 2 x ( t − x ) sin ⁡ t   d t x 3 = lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 x sin ⁡ t   d t + 2 x sin ⁡ 2 x + ∫ x 2 x − sin ⁡ t   d t 3 x 2 = lim ⁡ x → 0 + sin ⁡ x + 2 sin ⁡ 2 x + 4 x cos ⁡ 2 x − 2 sin ⁡ 2 x + sin ⁡ x 6 x = lim ⁡ x → 0 + 4 x cos ⁡ 2 x 6 x + lim ⁡ x → 0 + 2 sin ⁡ x 6 x = 1 \begin{align*} \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{2x} |t - x| \sin t \, dt}{x^3} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x (x - t) \sin t \, dt + \int_x^{2x} (t - x) \sin t \, dt}{x^3} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sin t \, dt + 2x \sin 2x + \int_x^{2x} -\sin t \, dt}{3x^2} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x + 2 \sin 2x + 4x \cos 2x - 2 \sin 2x + \sin x}{6x} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{4x \cos 2x}{6x} + \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \sin x}{6x} \\ &= 1 \end{align*} x0+limx302xtxsintdt=x0+limx30x(xt)sintdt+x2x(tx)sintdt=x0+lim3x20xsintdt+2xsin2x+x2xsintdt=x0+lim6xsinx+2sin2x+4xcos2x2sin2x+sinx=x0+lim6x4xcos2x+x0+lim6x2sinx=1

  3. 证明:函数 f ( x ) = x sin ⁡ x f(x) = x \sin x f(x)=xsinx ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (,+) 上不一致连续。

    证明:反证法

    f ( x ) = x sin ⁡ x f(x) = x \sin x f(x)=xsinx ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (,+) 上一致连续。则 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ε>0 ∃ δ > 0 \exist\delta>0 δ>0 当, ∀ x 1 , x 2 : ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ \forall x_1,x_2:\left|x_1-x_2\right|<\delta x1,x2:x<


http://www.ppmy.cn/server/143167.html

相关文章

基于Python的招聘信息推荐系统

作者&#xff1a;计算机学姐 开发技术&#xff1a;SpringBoot、SSM、Vue、MySQL、JSP、ElementUI、Python、小程序等&#xff0c;“文末源码”。 专栏推荐&#xff1a;前后端分离项目源码、SpringBoot项目源码、Vue项目源码、SSM项目源码、微信小程序源码 精品专栏&#xff1a;…

无人机的动力系统节能——CKESC电调小课堂12

1.优化电机和螺旋桨配置 精准匹配&#xff1a;根据无人机的设计用途和负载要求&#xff0c;精确选择电机和螺旋桨。确保电机的功率、扭矩等参数与螺旋桨的尺寸、螺距等完美匹配。例如&#xff0c;对于轻型航拍无人机&#xff0c;选用功率合适的小尺寸电机搭配高效的小螺旋桨&a…

图像重建之深度学习重建

图像重建是计算机视觉领域的一个重要任务。深度学习在图像重建中具有很强的能力和广泛的应用。下面介绍一种常见的深度学习图像重建方法&#xff1a;基于生成对抗网络&#xff08;Generative Adversarial Networks&#xff0c;GANs&#xff09;的图像重建。 基于 GAN 的图像重…

element-plus如何修改内部样式而不影响vue其他组件的样式

使用scoped样式 可以在组件的样式中使用scoped修饰符&#xff0c;以限制样式仅作用于当前组件中的元素。这样就可以在不影响全局样式的情况下&#xff0c;修改element-plus组件的样式。 <template><div class"my-component"><el-button>按钮</e…

基于AOA算术优化的KNN数据聚类算法matlab仿真

目录 1.程序功能描述 2.测试软件版本以及运行结果展示 3.核心程序 4.本算法原理 5.完整程序 1.程序功能描述 基于AOA算术优化的KNN数据聚类算法matlab仿真。通过AOA优化算法&#xff0c;搜索最优的几个特征数据&#xff0c;进行KNN聚类&#xff0c;同时对比不同个数特征下…

【论文解读CVPR2024】Scaffold-GS: Structured 3D Gaussians for View-Adaptive Rendering

论文&#xff1a;https://arxiv.org/abs/2312.00109https://arxiv.org/abs/2312.00109 代码&#xff1a;https://city-super.github.io/scaffold-gs/https://city-super.github.io/scaffold-gs/ Overview TL;DR: 我们提出了 Scaffold-GS&#xff0c;它利用锚点分布局部的 3D …

# 第20章 Cortex-M4-触摸屏

第20章 Cortex-M4-触摸屏 20.1 触摸屏概述 20.1.1 常见的触摸屏分类 电阻式触摸屏、电容式触摸屏、红外式触摸屏、表面声波触摸屏 市场上用的最多的是电阻式触摸屏与电容式触摸屏。红外管式触摸屏多用于投影仪配套设备。 电阻式触摸屏构成&#xff1a;整个屏由均匀电阻构成…

【Vite】如何修改服务器默认端口号5173

在 vite.config.ts 中修改服务器端口号&#xff1a; export default defineConfig({server: {port: 5175},plugins: [sveltekit()] });参考&#xff1a;Server Options