详解二叉树(上)---堆

一、树

1.2 树的相关术语

1.3 树的表示方法

二、二叉树

2.1 概念与结构

2.2 二叉树的特殊形式

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储结构

1.顺序结构

2.链式结构

2.5 实现顺序结构二叉树（堆）

1.堆的概念

2. 堆的性质

3.堆的实现

三、全部代码

一、树

1.1 树的概念与结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

特点：

有一个特殊的结点，称为根节点，根节点没有前驱结点。

除根结点外，其余结点被分为M（M>0）个互不相交的集合T1、T2、。。。Tm,其中每一个集合Ti（1<= i <= m）又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根节点有且仅有一个前驱，可以有0个或多个后继

ps : 树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，除根结点外，每个结点有且仅有一个父节点，一棵N个结点的树有N-1条边

1.2 树的相关术语

父结点：如果一个节点有子结点，那么该节点就称为他的父结点如：A是B的父结点。

子结点：一个结点含有的子树的根结点就称为该结点的子结点。如B是A的子结点。

结点的度：一个结点含有几个孩子，就称他的度为几如：A的度为三。

树的度：一棵树中，最大的度为几，这个树就为几如：上述的度为三。

叶子结点：度为0的结点，如上图：F H I J K L

分支结点：度不为0的结点，如上图：A B C D E G D

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点如：B、C 是兄弟结点

结点的层次：从根结点开始，根为第一层，根的节点为第二层，以此类推

树的高度或层次：树最大的层次如上图树有四层

结点的祖先：从根到该所经分支上的所有结点；如上图A是所有结点的祖先

路径：一条从树中任意结点出发，有父结点--子结点链接，达到任意节点的序列；比如A到H的路径为：A-> D -> H

子孙: 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙，如上图所有结点都是A的子孙

森林：由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示方法

兄弟孩子表示法

二、二叉树

2.1 概念与结构

在树形结构中，我们最常用的就是二叉树，一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成或者为空

特点：二叉树不存在度大于2的结点

二叉树的子树左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2 二叉树的特殊形式

满二叉树：每一层结点数都达到了最大值，且如果一个二叉树的层数为K，那么他的结点数就是2K次方减一

完全二叉树：除了最后一层其余的结点个数达到最大

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的i次方减一个结点

2.若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2的h次方减一个结点

3.若规定根结点的层数为1，具有n个结点满二叉树的深度h = log2(n+1)

2.4 二叉树的存储结构

一般分为顺序结构，链式结构

1.顺序结构

顺序结构的底层结构就是数组，一般只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构

2.链式结构

链表中的每个结点有三个域

2.5 实现顺序结构二叉树（堆）

1.堆的概念

堆是一种二叉树，我们将父结点最大的堆叫做大堆，父结点最小的叫做小堆

2. 堆的性质

堆中某个结点的值总是不大于或小于父节点

3.堆的实现

1.堆的初始化（与线性表一样）

void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->capacity = php->size = NULL;
}

2.堆销毁（同线性表）

void HPDesTroy(HP* php)
{assert(php);free(php->arr);php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

3.堆的插入

插入一个新的数据与线性表相似，问题是我们不知道数据的大小可能会破坏大小堆，这需要我们去调整，这就涉及到了调整算法：向下调整算法

以小堆为例：

void Sweap(int* x, int* y)
{int t = *x;*x = *y;*y = t;
}
void AdjustUP(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//根据二叉树的性质while (child > 0){if (arr[child] < arr[parent]){Sweap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
void HPPush(HP* php,HPDataType x)
{assert(php);if (php->capacity == php->size){int new = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, sizeof(HPDataType) * 2);if (tmp == NULL){perror("realloc fail\n");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = new;}php->arr[php->size] = x;//向上调整算法AdjustUP(php->arr, php->size);php->size++;
}

4.删除堆顶数据

我们删除堆顶元素时会打乱顺序造成父子关系错乱，不满足大堆或者小堆，所以我们先将堆顶和堆底先交换，然后向下调整

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
void AdjusDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{//以小堆为例int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Sweap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else {break;}}
}
void HPPOP(HP* php)
{assert(!HPEmpty(php));Sweap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);php->size--;AdjusDown(php->arr, 0, php->size);
}

三、全部代码

//Heap.h代码
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;int capacity;
}HP;
void HPInit(HP* php);
void HPDesTroy(HP* php);
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
void HPPOP(HP* php);

//Heap.c代码
#include"Heap.h"
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}
void HPDesTroy(HP* php)
{assert(php);if(php->arr)free(php->arr);php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}
void Sweap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}
void AdjustUP(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//根据二叉树的性质while (child > 0){if (arr[child] < arr[parent]){Sweap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
void HPPush(HP* php,HPDataType x)
{assert(php);if (php->capacity == php->size){int new = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, sizeof(HPDataType) * 2);if (tmp == NULL){perror("realloc fail\n");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = new;}php->arr[php->size] = x;//向上调整算法AdjustUP(php->arr, php->size);php->size++;
}
//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
void AdjusDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{//以小堆为例int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Sweap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else {break;}}
}
void HPPOP(HP* php)
{assert(!HPEmpty(php));Sweap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);php->size--;AdjusDown(php->arr, 0, php->size);
}

//test.c代码
#include"Heap.h"
int main()
{HP hp;HPInit(&hp);HPPush(&hp, 4);HPPush(&hp, 3);HPPush(&hp, 2);HPPush(&hp, 1);HPPOP(&hp);return 0;
}

下届预告：

我们会说二叉树的链式结构，如果感兴趣，请关注我吧😀😀；